2013时代杯数学竞赛有几题不会,求教了,

9题 = 101
(n+1)!- n!= n*n!
n(n+1)!- n*n!= n^2*n!
=>n^2*n!+ n*n!+ n!=
n(n+1)!- n*n!+ (n+1)!- n!+ n!= (n+1)(n+1)!- n*n!
原题 S + 1 = 101*101!- 100 * 100!+ 100*100!- 99*99!+ ...+ 2*2!- 1*1!+ 1 = 101*101!
所以结果是101*101!/101!= 101
平方数题:
令m=a^2+b^2,n = x^2 + y^2则mn = (a^2+b^2)(x^2 + y^2) = (ax)^2 + (by)^2 + (ay)^2 + (bx)^2 = (ax + by)^2 - 2*ax*by + (ay-bx)^2 + 2*ay*bx = (ax+by)^2 + (ay-bx)^2可知mn仍然是"1"型数 (2)问令m = a^2 + kb^2 n= x^2 + ky^2则mn = (ax)^2 + (kby)^2 + k(bx)^2 + k(ay)^2= (ax+kby)^2 - 2*ax*kby + k(bx-ay)^2 + k*2*bx*ay=(ax+kby)^2 + k(bx-ay)^2所以是"k"型数
补充：
第二大问xy+2zw = 7xz-yw = 3可以利用上面的2型数处理,2来自于2zw即有mn = (xy+2zw)^2 + 2*(zx-yw)^2 = 7^2 + 2*3^2 = 67mn是质数,令m = 1,n = 67m = x^2 + 2*w^2 n= y^2 + 2*z^2=> x = 1,w = 0 或者 x= -1 ,w = 0=>y= 7,z = 3 ,y = 7,z = -3 或者 y= -1 z = 3,y= -1,z = -3满足条件的组合(x,y,z,w) (1,7,3,0) (-1,-7,-3,0),应该就只有这两组了.
10.三角型面积
过一边中点做个平行四边形,求的两条中线分割情况是
2 3
6 4
梯型面积是三角型的3/4(因为三角型相似)
下面求梯形面积
12sina + 3sina + 6sinb + 6sinb (a+b = 180) sina = sinb
15sina +12sinb = 27sina
当a= 90度时最大.
所以三角型最大面积是27 * 4/3 = 36