以知ab+bc+ca=0求 a+b+c=o这道题可以说是奥数题了sorry 我说错了 &

不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a，b，c恒成立．由已知条件知，a，b，c都不等于0，且c＞0．
因为abc=1，有ab=
1
c ＞0；
又因为ab+bc+ca=0，
所以a+b=-
1
c 2 ＜0，
所以a≤b＜0．
由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是一元二次方程x ² +
1
c 2 x+
1
c =0的两个实数根，
于是△=
1
c 4 -
4
c ≥0，
所以c ³ ≤
1
4 ．
因此|a+b|=-（a+b）=
1
c 2 ≥4c=4|c|，不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a，b，c恒成立，
所以k≤4，最大的实数k为4．

解题思路：由题意得，a≤b＜0＜c，c=-[ab/a+b]，k小于或等于

a2+b2+2ab

ab

的最小值，利用基本不等式求得答案．

∵a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，∴a≤b＜0＜c，c=-[ab/a+b]，
由不等式|a+b|≥k|c|恒成立得
k≤
|a+b|
|c|=
|a+b|
|
−ab
a+b|=
|a+b|2
ab=
a2+b2+2ab
ab 恒成立，故k小于或等于
a2+b2+2ab
ab的最小值．
又∵
a2+b2+2ab
ab≥[2ab+2ab/ab]=4，故k≤4，
故答案为 4．

点评：
本题考点： 绝对值不等式．

考点点评： 本题考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，得出k小于或等于a2+b2+2abab的最小值是解题的关键．

分析：通过实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1,利用c表示a+b和ab,并且确定它们的符号．然后写出以a、b为根的一元二次方程,则有△≥0,得到c的范围,再变形|a+b|,有|a+b|=-（a+b）=1 /c2 ≥4c=4|c|,最后确定k的范围,找到k的最大值．
不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a,b,c恒成立．由已知条件知,a,b,c都不等于0,且c＞0．
因为abc=1,有ab=1/c＞0；
又因为ab+bc+ca=0,
所以a+b=-1/c2＜0,
所以a≤b＜0．
由一元二次方程根与系数的关系知,a,b是一元二次方程x2+1/c2x+1/c=0的两个实数根,
于是△=1/c4-4/c≥0,
所以c^3≤1/4．
因此|a+b|=-（a+b）=1c/2≥4c=4|c|,不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a,b,c恒成立,
所以k≤4,最大的实数k为4．

解题思路：由题意得，a≤b＜0＜c，c=-[ab/a+b]，k小于或等于

a2+b2+2ab

ab

的最小值，利用基本不等式求得答案．

∵a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，∴a≤b＜0＜c，c=-[ab/a+b]，
由不等式|a+b|≥k|c|恒成立得
k≤
|a+b|
|c|=
|a+b|
|
−ab
a+b|=
|a+b|2
ab=
a2+b2+2ab
ab 恒成立，故k小于或等于
a2+b2+2ab
ab的最小值．
又∵
a2+b2+2ab
ab≥[2ab+2ab/ab]=4，故k≤4，
故答案为 4．

点评：
本题考点： 绝对值不等式．

考点点评： 本题考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，得出k小于或等于a2+b2+2abab的最小值是解题的关键．

解题思路：由题意得，a≤b＜0＜c，c=-[ab/a+b]，k小于或等于

a2+b2+2ab

ab

的最小值，利用基本不等式求得答案．

∵a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，∴a≤b＜0＜c，c=-aba+b，由不等式|a+b|≥k|c|恒成立得k≤|a+b||c|=|a+b||−aba+b|=|a+b|2ab=a2+b2+2abab 恒成立，故k小于或等于a2+b2+2abab的最小值．又∵a2+b2+2abab≥2ab+2...

点评：
本题考点： 绝对值不等式．

考点点评： 本题考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，得出k小于或等于a2+b2+2abab的最小值是解题的关键．