达布定理如何证明?下面的导函数介值性定理即是达布定理.定理:设f'(x)在[a,b]上存在,r是f'(a)与f'(b)之

达布定理的定义：
设函数f(x)在[a,b]区间上可导,虽然导函数未必连续,但是却具有“介值性”.
简单说：若f'+(a)>0,f'-(b)0,知 lim[f(x)-f(a)]/(x-a)>0,根据极限的保号性,在a的右邻域内f(x)>f(a).
这说明f(a)不是最大值.
同理,f(b)也不是最大值.
f 的最大值只能在(a,b)内部某一点 c 处取得,c 必为极大值点,根据费马定理,f'(c)=0.
达布定理证明：
做辅助函数
g(x)=f(x)-rx
在[a,b]连续
由闭区间连续函数存在最大最小值
则存在c∈[a,b]有g(c)是最值
由费马定理
g'(c)=0
即
f'(c)=

利用Darboux定理的结论“导函数具有介值性”推出没有跳跃型间断点是很容易的,直接用反证法就行了,跳跃的局部不可能满足介值性.
但是反过来等价性是不行的,没有跳跃型间断点不能保证介值性质,所以必须把导函数的条件加上去,这样一来就不能完全算做用“导函数没有跳跃型间断点”来推出Darboux定理了.
如果你不会证明Darboux定理,那么我可以告诉你证法,对于f'(a)和f'(b)之间的任何实数t,构造连续函数g(x)=f(x)-tx,然后对区间(a,b)上的最值点用Fermat引理就行了.

正如文中所言,排除最大值点等于a跟b的情形.

其实用L'Hospital法则证明会比较简单.
对c ∈ [a,b],由f(x)在c处可导,有f(x)在c连续,即lim{x → c} f(x)-f(c) = 0.
又显然lim{x → c} x-c = 0,因此x → c时(f(x)-f(c))/(x-c)是0/0型极限.
由L'Hospital法则,若右极限lim{x → c+} f'(x)存在,则有:
右导数f'(c+) = lim{x → c+} (f(x)-f(c))/(x-c) = lim{x → c+} (f(x)-f(c))'/(x-c)' = lim{x → c+} f'(x).
同理若左极限lim{x → c-} f'(x)存在,则有左导数f'(c-) = lim{x → c-} f'(x).
f(x)在c可导,故f'(c-) = f'(c+) = f'(c).
因此若f'(x)在c存在左右极限,则lim{x → c-} f'(x) = f'(c) = lim{x → c+} f'(x),即f'(x)在c连续.
即f'(x)没有第一类间断点.
无穷型间断点类似.
若lim{x → c+} f'(x) = +∞,可得f'(c+) = +∞,与f(x)在c可导矛盾.
不过要说明若lim{x → c+} f'(x) = ∞则lim{x → c+} f'(x) = +∞或lim{x → c+} f'(x) = -∞,
还是用Darboux定理比较方便.
因为介值性要求在f'(x)的正值和负值之间总有取0的点.
所以在lim{x → c+} f'(x) = ∞的条件下,f'(x)在充分接近c时只能恒正或恒负.

成立,