若函数fx,gx分别是R上的奇函数,偶函数,且满足fx-gx=e^x,比较g0,f2,f3的大小

令F(x)=G(x),解得x=2（-6舍去）
由题意求出F(x)和G(x)的较小的,画出互相可知,
当3/2≤x≤2时,F（x）≥G（x）,
当x＞2时,F（x）＜G（x）

设F(x)=f(x)-g(x)
则F(x)在(a,b)上连续且可导,在(a,.b〉内二阶可导.
∵f(x),g(x)存在相等的最大值
∴存在x1,x2∈ (a,b) 使f(x1)=g(x2)为f(x),g(x)的最大值
如果 x1=x2 则 ξ=x1=x2∈(a,b)使f(ξ )=g(ξ);
如果x1≠x2,不妨设x1

F（x）=f（x）+g（x） 所以 F（-x）=g（-x）+f（-x） 又f（x） g（x）为奇函数 所以 F（x）=-g（x）-f（x）=-F（x） 所以F（x）为奇函数 所以第一小问 根据奇函数的性质 若（0,正无穷）递减 则（0,负无穷）也递减 第二小问 关键求小于0时的解析式 所以设一个m小于0 则-m大于0 所以F（-m）=m（-m+1） 根据F（m）为奇函数 则F（m）=-F（-m）=-m（-m+1） 所以F（x）=（1）当x≥0时 -x（x+1） （2）当x＜0时 -x（-x+1）

令 F(x)=f(x)-g(x) ,
那么 F(x) 在 [a,b] 上可导,且 F '(x)=f '(x)-g '(x)

这个题目用两次罗尔定理就可以证明，设辅助函数F（X）=f(x)-g(x)
F(a)=F(b)=0则用一次罗尔定理,存在y0∈(a,b),使得F'(y0)=0
然后f（x）,g(x)在x0有相同最大值则f'(x0)=g'(x0)=0则F’（x0）=0
则再用一次罗尔定理，存在ξ∈(x0,y0)∈(a,b),使得F‘’（ξ）=0即得证

设f(x)=k/x

取x1,x2 ,x1>x2
f[g(x1)]-f[g(x2)]
x1>x2
(g(x1)=m)>(g(x2)=n因为g(x)在R上是增函数,
m>n
f(m)>f(n)因为f(x)在R上是增函数
f[g(x1)]=f(m)
f[g(x2)]=f(n)
f(m)>f(n)
->f[g(x1)]>f[g(x2)]
所以f[g(x)]在R上也是增函数