A={x|x=a^2+b^2,a,b∈z}

x1∈A,则存在a1、b1∈Z,使得x1＝a1^2＋b1^2
x2∈A,则存在a2、b∈Z,使得x1＝a2^2＋b2^2
∴x1·x2
＝(a1^2＋b1^2)(a2^2＋b2^2)
＝a1^2a2^2＋a1^2b2^2＋a2^2b1^2＋b1^2b2^2
＝a1^2a2^2＋b1^2b2^2＋2a1a2b1b2＋a1^2b2^2＋a2^2b1^2－2a1a2b1b2
＝(a1a2＋b1b2)^2＋(a1b2－a2b1)^2
显然,a1a2＋b1b2∈Z,a1b2－a2b1∈Z
故x1·x2∈A

设x1=（a1）^2+（b1）^2
x2=（a2）^2+（b2）^2,
故x1*x2=[（a1）^2+（b1）^2（a2）^2+（b2）^2,]
=（a1a2-b1b2）^2+（a1a2+b1b2）^2

x1*x2=[a^2+b^2]*[c^2+d^2]=ac2+bc2+db2+ad2
=ac2+bc2-2acbd+2acbd+db2+ad2=
(ac-bd)^2+(ac+bd)^2

x1,x2∈A ,设x1=a^2+b^2,x2=c^2+d^2,a,b,c,d∈z
所以x1*x2=（a^2+b^2）（c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ab+cd)^2∈A

令x1∈A，a1、b1∈Z，且x1＝a1^2＋b1^2
同时令x2∈A，a2、b∈Z，且x1＝a2^2＋b2^2
∴x1·x2
＝(a1^2＋b1^2)(a2^2＋b2^2)
＝a1^2a2^2＋a1^2b2^2＋a2^2b1^2＋b1^2b2^2
＝a1^2a2^2＋b1^2b2^2＋2a1a2b1b2＋a1^2b2^2＋a2^2b1^2－2a1a2b1b...

x1,x2∈A ,设x1=a^2+b^2,x2=c^2+d^2,a,b,c,d∈z
所以x1*x2=（a^2+b^2）（c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ab+cd)^2∈A