f(x)=x2+2ax+1在【0,1】上最大值为f(1),求a的取值范围（用求导解决）

奇怪的小镇2022-10-04 11:39:541条回答

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NMGCZL 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%: f(x)=x2+2ax+1
f'(x)=2x+2a 极值点x=-a
f(x)在[0,1]的最大值取决于点x=0 和点x=1到x=-a的距离.当
|1-(-a)|>=|(-a)|时,f(x)的最大值为f(1)
a>=0时 =>1+a>a恒成立.
a-a =>a>-1/2
=>a>-1/2; 1年前

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解题思路：（I）由已知中函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，结合函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），我们可以构造关于a的方程，解方程可以求出a的值
（II）由（1）中结论，我们可以得到函数h（x）=f（x）+g（x）的解析式，利用零点分段法，我们可以将其转化为分段函数的形式，再由二次函数的性质，即可分析出函数的单调递增区间．
（I）∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等
∴f（0）=g（0），即|a|=1…（2分）
又a＞0，所以a=1． …（4分）
（II）由（I）可知f（x）=|x-1|，g（x）=x²+2x+1…（6分）
∴h(x)＝f( x )+g( x )＝|x−1|+x2+2x+1＝

(x+
1
2)2+
7
4，x＜1
(x+
3
2)2−
9
4，x≥1…（9分）
∴h(x)在[−
1
2，1)和[1，+∞)上都是单调递增函数．，…（11分）
又∵(1+
1
2)2+
7
4＝(1+
3
2)2−
9
4，
∴h(x)在[−
1
2，+∞)上是单调递增函数．…（13分）
故h(x)的单调递增区间为[−
1
2，+∞)…（14分）

点评：
本题考点：函数与方程的综合运用；函数的单调性及单调区间．

考点点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，函数的单调性及单调区间，零点分段法，二次函数的性质，其中利用零点分段法将函数的解析式化为分段函数的形式，进而转化为二次函数单调性的判断问题是解答本题的关键．

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已知函数f（x）=x2+2ax+1（a＞0），则f（x）在[-5，5]上的最大值为______． mistletoe837281年前1: 女人藤共回答了20个问题 | 采纳率80%

解题思路：由于二次函数的对称轴为x=-a，分①当-a＜-5、②当-5≤-a＜0、③当0≤-a≤5、④当-a＞5四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最大值．
∵函数f（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a² 的对称轴为x=-a，
①当-a＜-5，即a＞5时，函数y在[-5，5]上是增函数，
故；当x=5时，函数y取得最大值为26+10a．
②当-5≤-a＜0，即0＜a≤5时，当x=5时，函数y取得最大值为26+10a．
③当0≤-a≤5，即-5≤a≤0时；当x=-5时，函数y取得最大值为26-10a．
④当-a＞5，即a＜-5时，函数y在[-5，5]上是减函数，
故当x=-5时，函数y取得最大值为26-10a；
故答案为：①当a＞0时，函数y的最大值为26+10a．
②当a≤0时，函数y的最大值为26-10a．

点评：
本题考点：二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

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g（x）=x2+2ax+1在y轴上的截距为1 f（x）=|x-a|图象在y轴上的截距=|-a|=1又 a为正常数所以a=1 f（x）=|x-1|,g（x）=x2+2x+1 由已知 f（x）﹢g（x）﹢b=x 有解,所以

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为什么是f(x)=1-x呢?应该是f(x)=|1-x|
f(x)是定义在R上的,你按x与a的关系讨论(即在定义域的每个子区间上对函数f(x)的讨论)不应该影响定义域,定义域还应该是R
"当x

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已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等 已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等． （1）求a的值； （2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间； （3）若n为正整数，证明：10f( n )•( 4 5 )g( n )＜4． klbweiwei1年前1: 男人就命苦共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

解题思路：（1）由题意知，f（0）=g（0），解出a的值．（2）分类讨论的方法化简f（x）+g（x）的解析式，再求出他们的单调增区间．（3）把不等式的左边看成是一个数列，分析此数列的变化规律是c1≤c2≤c3≤c4，而c4＞c5＞c6＞…，故左边的最大值是c4，而c4＜4，不等式得到证明．
（1）由题意，f（0）=g（0），
|a|=1又a＞0，
所以a=1．
（2）f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1
当x≥1时，f（x）+g（x）=x²+3x，它在[1，+∞）上单调递增；
当x＜1时，f（x）+g（x）=x²+x+2，它在[ −
1
2， 1 )上单调递增．
（3）设cn＝10f( n )•(
4
5 )g( n )，考查数列{c_n}的变化规律：
解不等式
cn+1
cn＜1，由c_n＞0，上式化为10•(
4
5 )2n+3＜1
解得n＞
1
2lg0.8−
3
2≈3.7，因n∈N得n≥4，于是，c₁≤c₂≤c₃≤c₄，而c₄＞c₅＞c₆＞…
所以，10f( n )•(
4
5 )g( n )≤10f( 4 )•(
4
5 )g( 4 )＝103•(
4
5 )25＜4．

点评：
本题考点：函数的单调性及单调区间；不等式的证明．

考点点评：本题考查函数的单调性和单调区间，及不等式的证明．

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下列命题中：①“x＞|y|”是“x2＞y2”的充要条件；②若“∃x∈R，x2+2ax+1＜0”，则实数a的取值范围是（- 下列命题中： ①“x＞|y|”是“x²＞y²”的充要条件； ②若“∃x∈R，x²+2ax+1＜0”，则实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）； ③已知平面α，β，γ，直线m，l，若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α； ④函数f（x）=（ A．1 B．2 C．3 D．4 会稽山隐1年前1: 星际暴风雪共回答了18个问题 | 采纳率77.8%

①由x＞|y|，可知x＞0所以有x²＞y²，当x＜y＜0时，满足x²＞y²，但x＞|y|不成立，所以①错误．
②要使“∃x∈R，x²+2ax+1＜0”成立，则有对应方程的判别式△＞0，即4a²-4＞0，解得a＞1或a＜-1，所以②正确．
③因为γ∩α=m，γ∩β=l，所以l⊂γ，又l⊥m，所以根据面面垂直的性质定理知l⊥α，所以③正确．
④因为f(
1
3)＝(
1
3)
1
3−

1
3＝(
1
3)
1
3−(
1
3)
1
2＞0，f(
1
2)＝(
1
3)
1
2−

1
2＝(
1
3)
1
2−(
1
2)
1
2＜0，且函数连续，
所以根据根的存在定理可知在区间（
1
3，
1
2）上，函数f（x）存在零点，所以④正确．
所以正确的是②③④，共有三个．
故选C．

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已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4,则a=_____. victoria20061年前1: feihebeijing 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

函数对称轴为x=-a当-a≤-1 => a≥1(即x在对称轴右边取值),此时x=2,y取到最大值,即2²+2a*2+1=4 => a=-1/4(舍去)当-a≥2 => a≤-2(即x在对称轴左边取值),此时x=-1,y取到最大值,即(-1)²+2a*(-1)+1=4 => a=-1(...

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已知函数f（x）=|x-a|及g（x）=x2+2ax+1（a＞0且a为常数），且函数f（x）及g（x）的图象与y轴交点的 已知函数f（x）=|x-a|及g（x）=x²+2ax+1（a＞0且a为常数），且函数f（x）及g（x）的图象与y轴交点的纵坐标相等． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间． miluke1年前1: 00066zt 共回答了14个问题 | 采纳率100%

（Ⅰ）由题意得：f（0）=g（0），
即|a|=1，
又因为a＞0，
所以a=1．
（Ⅱ）由（I）可得：F（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1
①当x≥1时，F（x）=（x-1）+x²+2x+1=x²+3x=(x+
3
2)2−
9
4，
所以根据二次函数的现在可得：F（x）在[1+∞）在上单调递增．　　　
②当x＜1时，F（x）=-（x-1）+x²+2x+1

＝x2+x+2

＝(x+
1
2)2+
7
4，
所以根据二次函数的现在可得：F（x）在[−
1
2，1)上单调递增．
因为当x=1时，F（x）=4；当x＜1时，F（x）＜4，
所以F（x）在[−
1
2，+∞)上单调递增．

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已知函数f(x)=x2+2ax+1在区间【-1,2】上的最小值是4求a的值 流云sy1年前5: 冬雪晚晴共回答了23个问题 | 采纳率95.7%

答：
f(x)=x^2+2ax+1,抛物线开口向上,对称轴x=-a
1）当x=-a=1时：
在x=-1时取得最小值f(-1)=1-2a+1=2-2a=4,
解得a=-1,不符合
2）-1

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(-∞,-1)∪(3,+∞).
A=(-∞,-2]∪[4,+∞) ,
B=(a-1,a+1)
若 A∩B=∅,必有 -2 ≤ a-1 且 a+1 ≤ 4,解得：-1≤a≤3
所以要使 A∩B≠∅,需满足：a∈(-∞,-1)∪(3,+∞).

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解题思路：由命题p：∀x∈R，x²+2ax+1＞0，知△=4a²-4＜0，-1＜a＜1，再由命题q：a∈Z，“p∧q”是真命题，能求出实数a的值．
∵命题p：∀x∈R，x²+2ax+1＞0，即△=4a²-4＜0，-1＜a＜1，
命题q：a∈Z，
“p∧q”是真命题，
∴a=0．
故选D．

点评：
本题考点：命题的真假判断与应用．

考点点评：本题考查翕题的真假判断与应用，解题时要注意公式的合理运用．

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解题思路：（I）由已知中函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，结合函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），我们可以构造关于a的方程，解方程可以求出a的值
（II）由（1）中结论，我们可以得到函数h（x）=f（x）+g（x）的解析式，利用零点分段法，我们可以将其转化为分段函数的形式，再由二次函数的性质，即可分析出函数的单调递增区间．
（I）∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等
∴f（0）=g（0），即|a|=1…（2分）
又a＞0，所以a=1． …（4分）
（II）由（I）可知f（x）=|x-1|，g（x）=x²+2x+1…（6分）
∴h(x)＝f( x )+g( x )＝|x−1|+x2+2x+1＝

(x+
1
2)2+
7
4，x＜1
(x+
3
2)2−
9
4，x≥1…（9分）
∴h(x)在[−
1
2，1)和[1，+∞)上都是单调递增函数．，…（11分）
又∵(1+
1
2)2+
7
4＝(1+
3
2)2−
9
4，
∴h(x)在[−
1
2，+∞)上是单调递增函数．…（13分）
故h(x)的单调递增区间为[−
1
2，+∞)…（14分）

点评：
本题考点：函数与方程的综合运用；函数的单调性及单调区间．

考点点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，函数的单调性及单调区间，零点分段法，二次函数的性质，其中利用零点分段法将函数的解析式化为分段函数的形式，进而转化为二次函数单调性的判断问题是解答本题的关键．

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f'(x)=2x+2a
f'(1)≥0
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（就是只要函数图象开口向上即可）、

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解题思路：先配方得到函数的对称轴为x=-a，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[0，1]的位置关系，合理地进行分类，从而根据函数的最小值即可求得a的取值范围．
∵y=（x+a）²-a²+1
∵函数f（x）=x²+2ax+1在[0，1]上的最小值为f（1），
∴对称轴x=-a在区间[0，1]的右侧，
故-a≥1，∴a≤-1．
则a的取值范围为（-∞，-1]
故答案为：（-∞，-1]．

点评：
本题考点：二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论．

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f(x)=x2+2ax+1在【0,1】上最大值为f(1),求a的取值范围（用求导解决）

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