多元函数微积分设f(u,v)为可微分足够次的函数,试按r的方幂将函数 F(r)=(1/2π)∫(0,2π) f(x+r*

f(x+rcost,y+rsint)=f(x,y)+af/ax*rcost+af/ay*rsint+0.5(a^2f/ax^2*(rcost)^2+2a^2f/axay*(r^2costsint)+a^2/ay^2*(rsint)^2)+1/6(a^3f/ax^3(rcost)^3+3a^3f/ax^2ay*(r^3cos^2tsint)+3a^3f/axay^2*(r^3costsin^2t)+a^3f/ay^3*(rsint)^3)+1/24(a^4f/ax^4(rcost)^4+4a^4f/ax^3ay*(r^4cos^3tsint)+6a^4f/ax^2ay^2*(r^4cos^2tsin^2t)+4a^4f/axay^3*(r^4costsin^3t)+a^4f/ay^4(rsint)^4)+小o余项,做积分就行.其中的a^kf/ax^k1ay^k2表示对x求k1次导对x求k2次导.

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多元函数微积分包括多元函数的积分学和微分学。我们学习多元函数的微积分，主要讨论的是二元函数的微积分，二元以上的只是维数上升，只要还是有限维，那么和

先把f(x+rcost,y+rsint)在（0,0）处用泰勒展开式展开（以x,y为变量），求得含r^4项为止。再将此函数对dt在（0，2π）上求定积分，代入原式即得答案：F(r)=f(x,y)+r^2/4(fxx+fyy)+r^4/64(fxxxx+fyyyy+1/3*fxxyy)+o(r^5).