等差数列b1=1,b1+b2+bn=145,an=loga(1+1 n)试比较sn与logabn+1的大小

樱雨释2022-10-04 11:39:541条回答

等差数列b1=1,b1+b2+bn=145,an=loga(1+1 n)试比较sn与logabn+1的大小
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+...+b10=145
设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn),其中a大于0且a不等于1,记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与1/3loga bn+1的大小,并证明你的结论.
(1)设数列{bn}的公差为d,由题意得:解得b1=1,d=3,
∴bn=3n-2.
(2)由bn=3n-2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+…+loga(1+ )
=loga〔(1+1)(1+ )…(1+ )〕,logabn+1=loga .
因此要比较Sn与 logabn+1的大小,可先比较(1+1)(1+ )…(1+ )与 的大小,
取n=1时,有(1+1)>
取n=2时,有(1+1)(1+ )> …
由此推测(1+1)(1+ )…(1+ )> ①
若①式成立,则由对数函数性质可判定:
当a>1时,Sn> logabn+1,②
当0<a<1时,Sn< logabn+1,③
下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当n=1时,已验证①式成立.
(ⅱ)假设当n=k时(k≥1),①式成立,即:
.那么当n=k+1时,
这就是说①式当n=k+1时也成立.
由(ⅰ)(ⅱ)可知①式对任何正整数n都成立.
由此证得:
当a>1时,Sn> logabn+1;当0<a<1时,Sn< logabn+1

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mieshini 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%
..我还能说什么呢
1年前

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