D在的△ABC边AB上,且AC²=AD×AB,则△ABC ∽ △ACD,理由是（ ）

∵∠A=∠A
∴当∠B=∠ACD或∠ADC=∠ACB时，△ACD∽△ABC
∴AD：AC=AC：AB
∴AC²=AD•AB．
答案不唯一，如∠B=∠ACD或∠ADC=∠ACB．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

(1)连接AD，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90∘，而BD=CD，得到△ABD是等腰三角形；

(2)由∠A=36∘，△ABD是等腰三角形，可得∠B，由此得到AD弧的度数。

试题解析：(1)证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90∘，即AD⊥BC，

又∵BD=CD，

∴△ABC是等腰三角形；

(2)解：∵∠A=36∘，

∴∠B=∠C=(180∘−∠A)=72∘

所以弧AD的度数等于72∘×2=144∘.

（1）证明过程如下；（2）144°．


<>

∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=10，
∴DE=[1/2]BC=5．
故应填5

点评：
本题考点： 三角形中位线定理．

考点点评： 此题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握性质是解题的关键．

证明：（I）如图所示，
∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，
∴DE
∥
.
1
2BC，
又BC=2EF，
∴DE=EF．
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF∥AB．
（II）∵CF∥AB，∴BC=AF．
由四边形ADCF是平行四边形，∴CD=AF．∴CD=CB，∴∠CBD=∠CDB．∵FG∥BC，∴∠BGD=∠CFD．
∵CF∥AB，∴∠BDG=∠CFD．
∴∠CBD=∠BDG=∠CDB=∠DGB．
∴△BCD∽△DBG．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定；平行线分线段成比例定理．

考点点评： 本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质、平行四边形的性质、圆的性质、相似三角形的判定定理，考查了推理能力，属于中档题．

设∠A=x°，
∵AC=BC，AE=EC，
∴∠ABC=∠A=x°∠ACE=∠A=x°，
∴∠BEC=∠A+∠ACE=2x°，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE=2x°，
在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC=180°，
∴2x+2x+x=180，
解得：x=36，
∴∠A=∠ABC=36°，
∴∠CBD=90°-∠A-∠ABC=18゜．

点评：
本题考点： 等腰三角形的性质．

考点点评： 此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，∴A正确；
∵BE不一定垂直AC，
∴无法判断OE、OF是否相等，
∴B错误；
∵MN是边AB的垂直平分线，
∴AF=BF，OA=OB，
∴C、D正确．
故选B．

点评：
本题考点： 线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．

考点点评： 本题考查了到角平分线及线段垂直平分线的性质；属中学阶段的基础题目，应熟练掌握并灵活运用．

∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴ADE的周长：△ABC的周长=AD：BA=AD：（AD+BD）=1：3．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题用到的知识点为：相似三角形周长的比等于相似比．

∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD=DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD=BD，
∴BD=DF，
∴∠B=∠BFD，
∵∠B=46°，
∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-46°-46°=88°．
故选A．

点评：
本题考点： 轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）．

考点点评： 本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．

（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠B=∠C=∠A=60°，
∵PE⊥BC，EF⊥AC，FM⊥AB，
∴∠PEB=∠EFC=∠FMA=90°，
∴由三角形内角和定理得：∠BPE=∠FEC=∠AFM=30°，
∵BE=[1/2]BP，CF=[1/2]CE，AM=[1/2]AF，
∵BP=x，AB=BC=AC=2，
∴BE=[1/2]x，CE=2-[1/2]x，CF=[1/2]CE=1-[1/4]x，AF=2-CF=2-（1-[1/4]x）=1+[1/4]x，
∴AM=[1/2]AF=[1/2]+[1/8]x．
（2）当P和M重合时，AM+PB=AB=2，
即x+[1/2]+[1/8]x=2，
x=[4/3]，
即当x=[4/3]时，点P和点M重合．

点评：
本题考点： 等边三角形的性质；坐标与图形性质．

考点点评： 本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质，等边三角形的性质的应用，关键是用x把各个线段表示出来．

如图：有2个做法：1、以BC为x轴,在BC的下方作P的对称点P’,连接QP’交BC于M,即为所求2、同理,以BC为x轴,在BC的下方作Q的对称点Q’,连接PQ’交BC于M,即为所求

∵AD=2BD，S_△ABC=6，
∴S_△ADC=[2/3]S_△ABC=4，S_△BDC=[1/3]S_△ABC=2．
过E作EG∥AB交CD于G，
∵BE=CE，
∴CG=DG，
∴BD=2EG，
∵AD=2BD，
∴AD=4EG．
设S_△EGF=x．
∵EG∥BD，
∴△CEG∽△CBD，
∴
S△CEG
S△CBD=（[CE/BC]）²=[1/4]，
∴S_△CEG=[1/4]S_△CBD=[1/4]×2=[1/2]，S_梯形EGDB=2-[1/2]=[3/2]，
设S_△FEG=x，则S_{四边形BEFD}=[3/2]-x，
∵S_△ABE=[1/2]S_△ABC=3，
∴S_△ADF=S_△ABE-S_{四边形BEFD}=3-（[3/2]-x）=[3/2]+x．
∵EG∥AD，
∴△FEG∽△FAD，
∴
S△FEG
S△FAD=（[EG/AD]）²=[1/16]，
∴S_△FAD=16S_△FEG=16x，
∴16x=[3/2]+x，
解得x=[1/10]，
∴S_{四边形BEFD}=[3/2]-x=[3/2]-[1/10]=[7/5]．
故答案为[7/5]．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积．

考点点评： 本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．

A、∵DE∥BC，
∴[AD/AB]=[AE/AC]正确，故本选项错误；
B、∵DE∥BC，
∴[DE/BC]=[AD/AB]正确，故本选项错误；
C、∵DE∥BC，
∴[DE/BC]=[AE/AC]正确，故本选项错误；
D、∵DE∥BC，
∴[AD/DB]=[AE/EC]≠[DE/BC]，故本选项正确．
故选D．

点评：
本题考点： 平行线分线段成比例．

考点点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，准确识图，找准对应线段是解题的关键．

A、∵AC²=AP•AB，
∴[AC/AP]=[AB/AC]，
又∵∠PAC=∠CAB，
∴△ACP∽△ABC，
故此选项错误；
B、∵∠ABC=∠ACP，
又∵∠PAC=∠CAB，
∴△ACP∽△ABC，
故此选项错误；
C、∵∠APC=∠ABC，
又∵∠PAC=∠CAB，
∴△ACP∽△ABC，
故此选项错误；
D、两组边对应成比例的两个三角形不一定相似，故此选项正确．
故选D．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定．要对相似三角形的判定定理很熟练．

证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵BC＝AF，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知BC＝AF...

点评：
本题考点： 综合法与分析法(选修）．

考点点评： 本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．

A、∵AC2=AP•AB，∴ACAP=ABAC，又∵∠PAC=∠CAB，∴△ACP∽△ABC，故此选项错误；B、∵∠ABC=∠ACP，又∵∠PAC=∠CAB，∴△ACP∽△ABC，故此选项错误；C、∵∠APC=∠ABC，又∵∠PAC=∠CAB，∴△ACP∽△ABC，故此选...

点评：
本题考点： 相似三角形的判定．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定．要对相似三角形的判定定理很熟练．

证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点
∴DF∥BC，AD=DB
∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形
∴CF∥BD，CF=BD
∴CF∥AD，CF=AD
∴四边形ADCF是平行四边形
∴AF=CD
∵

BC＝

AF，∴BC=AF，∴CD=BC．
（2）由（1）知

BC＝

AF，所以

BF＝

AC．
所以∠BGD=∠DBC．
因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．
所以△BCD～△GBD．

点评：
本题考点： 综合法与分析法(选修）．

考点点评： 本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．