在△ABC中,∠ACB=90°,CD、CE三等分∠ACB,CD⊥AB.试说明:（1）AB=2BC；（2）CE=AE=EB

解题思路：根据三角形内角和为180度，设∠EBC=x，∠ECB=y，线段BP、BE三等分∠ABC，线段CP、CE三等分∠ACB，不难计算出∠BPC，再利用角平分线的定义解题，要注意PE也是角平分线．

设∠EBC=x，∠ECB=y．
∵∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
即3x+3y=120°，
∴x+y=40°．
∵BP，BE三等分∠ABC，CP，CE三等分∠ACB，
∴∠CBP+∠BCP=2x+2y=2（x+y）=80°．
在△BCP中
∵∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-80°=100°，
又∵BE和CE是∠CBP和∠BCP的角平分线，
∴PE也一定是角平分线（三个角平分线交于一点），
∴∠BPE=[1/2]∠BPC=50°．

点评：
本题考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理．

考点点评： 主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义：
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．

你可能忙中大意了,应该说明点E在A、D之间.
第二个问题：
∵AC⊥BC、CD⊥AB,∴∠A＝∠BCD　［同是∠B的余角］.
又∠BCD＝（1/3）∠ACB＝（1/3）×90°＝30°,∴∠A＝30°,
∴AB＝2BC.［Rt△中,30°内角所对的直角边等于斜边的一半］
第一个问题：
∵∠A＝30°、∠ACE＝（1/3）∠ACB＝（1/3）×90°＝30°,∴∠A＝∠ACE,∴AE＝CE.
∵∠A＝30°、∠ACB＝90°,∴∠B＝60°,又∠BCD＝（2/3）∠ACB＝（2/3）×90°＝60°,
∴∠B＝∠BCD,∴BE＝CE.
由AE＝CE、BE＝CE,得：AE＝BE,∴CE是Rt△ABC的中线.
注：当D在A、E之间时,原第二个问题不成立.证明如下：
∵AC⊥BC、CD⊥AB,∴∠A＝∠BCD　［同是∠B的余角］.
又∠BCD＝（2/3）∠ACB＝（2/3）×90°＝60°,∴∠A＝60°,∴∠B＝30°.
∴AC＝2BC.［Rt△中,30°内角所对的直角边等于斜边的一半］

采纳谢谢 证明：在Rt三角形ABC中,有： AC + BC =AB ∴3BC+ BC =AB, ( ∵ AC=3BC.已知 ) ∴ AB=4 BC, ∴AB=2BC, 又 ∵∠ ACB=90°,CD是中线, ∴ AD=BD=CD,（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） ∵AB=AD+BD=2BD, ∴ 2BC =2BD, ∴ BC =BD, ∴ ⊿BCD为正⊿, ∴∠BCD=60,又∵CE⊥BC, ∴CE为∠BCD的角平分线. ∴∠BCE=∠DCE=30 又∵ ∠ACB=90, ∴∠ACD= ∠ACB- ∠BCE-∠DCE=90 -30-30=30, ∴ ∠ACD= ∠BCE=∠DCE=30, 即 CD,CE三等份 ∠ ACB.

AC²+BC²=4BC²
因为∠ABC=90°
所以AB²=(2BC)²
AB=2BC
所以∠A=30° ∠B=60°
因为CD是中线
所以CD=1/2AB=AD
所以∠A=∠ACD=30°
因为CE⊥AB
所以∠CEB=90°
所以∠ECB=30°
因为∠ABC=90°
所以∠DCE=30°
所以∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°
所以CD、CE三等分∠ACB