设f(x)＝13x3−12ax2+(a−1)x（a∈R）．

解题思路：求导，判断函数的单调性，由题意可得4≤a-1或a-1≤1，解得即可．

解；∵f（x）=
1
3x3−
1
2ax2+（a-1）x
∴f′（x）=x²-ax+（a-1）=（x-1）[x-（a-1）]，
∵f（x）是区间（1，4）上的单调函数，
∴a-1≤1或a-1≥4，
∴a≤2或a≥5．
故答案为（-∞，2]∪[5，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性求参数的范围问题，属于基础题．

解题思路：由已知中函数f(x)＝

1

3

x3−

1

2

ax2+(a−1)x+1，我们可以求出函数的导函数的解析式，令导函数等于0，则我们可以求出函数的极值点为1和a-1，由函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，我们可得函数的极值点a-1介于4到6之间，构造关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．

∵函数f(x)＝
1
3x3−
1
2ax2+(a−1)x+1
∴f′（x）=x²-ax+（a-1）=（x-1）[x-（a-1）]
又∵函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，
∴4≤a-1≤6
∴5≤a≤7
故选B．

点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题考查的知识点是函数单调性与导数的关系，其中根据已知中函数f（x）的解析式，求出函数的导函数f′（x）的解析式，是解答本题的关键．

解题思路：（Ⅰ）求出f（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值1和a，由x的范围讨论a与1的大小，得到导函数的正负进而得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）把a=2代入f（x）和导函数中确定出相应的解析式，把x=3代入导函数中求出导函数的函数值即为切线的斜率，把x=3代入f（x）中即可得到切点的纵坐标，进而得到切点的坐标，根据求出的切点坐标和斜率写出切线方程即可．

（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（1，+∞），
f'（x）=x²-ax=x（x-a），
当a≤1时，在（1，+∞）上f'（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）单调递增；
当a＞1时，在（1，a）上f'（x）＜0，在[a，+∞）上f'（x）＞0，
所以f（x）在（1，a）单调递减，在[a，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）当a=2时，f(x)＝
1
3x3−x2+1，f'（x）=x²-2x，
∴f'（3）=3²-2×3=3，f(3)＝
1
3×33−32+1＝1，
所求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y-1=3（x-3）即3x-y-8=0．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据导函数的正负判断函数的单调区间，是一道中档题．