花灯盏镜花缘数学问题

《镜花缘》是清代李汝珍写的百科全书式的一部古典小说，包罗经史子集几乎所有古籍内容，还有生物、园艺，医药、音韵、算命以及天文、地理，文学、数学等等知识。小说的后半部描写了100位才女各展才能，其中米兰芬就是一位“神算子”。下面我们就来讨论一下这部小说中介绍的几道数学题。

一、分果子

小说第76回中说，众才女到宗伯府作客。在后花园内，董青钿同宋良箴、司徒妩儿、廖熙春、缁瑶钗、蒋秋辉在那里摆弄算盘，讨论算法。她们算了“韩信点乓”和“二十八宿闹昆阳”等算术题。这时廖熙春给大家出了一道题：“我在家乡动身来你们这时，亲戚姐妹都来送行。恰好有人送了一盘鲜果。妹子按人分，每人7个多一个，每人8个少16个，各位姐姐能算出共有几人？每人分几个果子吗？”

司徒妩儿回答道：“这是盈亏算法，极其容易：按第一种方案分总共多1个果子、按第二种方案一共少16个果子，两种方案共相差1+16=17个；在这两种不同分法中，每个人有8-7=1个的出入。那么要有多少人才会有17个果子的出入呢？两种方案相差总数除以两种方案中每个人分得果子的相差数，就是分果的人数。（1+16）÷（8-7）=17（人），17便是人数。根据第一种分配方案：17×7=119（个），119+1=120（个）。原来是17人分120个果子。”

古人把这种解法概括为一首歌诀：“算家欲知盈不足，两家互乘并为物，并盈不足为人实，分率相减余为法，法除物实为物价，法除人实人数目。”这首歌诀用今天的话说，则可概括为一个公式：（盈数+亏数）÷两种方案分配差=参与分配对象数。再根据参与分配对象数进一步算出被分配物品数。

同学们，你们明白了吗？

二、铺地锦

在小说《镜花缘》第79回里，就有一段利用“铺地锦”求圆周长的故事：有几位小姐妹聚在一起谈论数学。其中一位名叫青钿的，指着面前的圆桌，问道：“请教姐姐，这桌周围几尺？”被问的人叫做米兰芬，她向身边的宝云要过一把尺来，量出圆桌面的直径，是三尺二寸。然后取笔画了一个“铺地锦”(如图1)，画完后，回答说：“此桌周围一丈零零四分八。”(1米＝3尺，1丈＝ 10尺，1尺＝10寸，1寸=10分)。

左面图1是《镜花缘》书中画出的“铺地锦”，右边图2是我把它改写成现在通用的乘法竖式。从图中可以看出，“铺地锦”是在一个大的长方形里面，画了些纵横格子线，还画了连结方格对角的斜线，形状有点儿像铺在房间里的地毯，所以形象地叫做“铺地锦”。通过将图中左边的“铺地锦”和右边的乘法竖式对照，实际内容却几乎完全一致。竖式中的被乘数和乘数，在“铺地锦”图里，分别写在大长方形边框的右边和上边。大长方形的4条边中，右边的和上面的两条，相当于乘法竖式里的第一道横线。在竖式里，先暂时撇开小数点不管，用乘数的各位数字2和3分别去乘被乘数314，得到的628和942，两次乘得的数各占一行。所得的两行，错开右面一位，然后上下对齐相加。在“铺地锦”图中，大长方形里面竖的两排格子，自上而下，顺次写着用乘数的每一位去乘被乘数的每一位，得到的6、2、8和9、3、12，这些数字与数字的乘积，每个数字各占一格（进位的数字写在相邻的右上格）。所乘得的这些格子里的数字，纵横对齐排列，把每条对角斜线的全部数字相加，加得的和写在长方形外面。

在“铺地锦”里，左边竖排3格斜线上面的3个“一”，实际是乘或者加时进位进上来的“1”。竖式里的最后得数10.048，在“铺地锦”图里，是在大长方形边框的左边和下面，从左上往下，再往右（即从左上角按逆时针循序），连起来读。大长方形的左面一条边和下面一条边，相当于竖式的第二条横线。画完了“铺地锦”图，相当于写完了乘法竖式。

所以，《镜花缘》里的米兰芬画完“铺地锦”后，就能说出圆桌的周长是一丈零零四分八厘(≈3.35米)。

三、算杯重

书接上回，在宗伯府后花园内，宝云指桌上一套金杯对各位才女说道：“此杯大小一共9个，我用了126两金子请工匠打造的，这些杯子的重量按由小到大顺序成倍递增。姐姐能算出杯子大小各重多少么？”

兰芬道：“这是‘差分法’。方法是用9个加1个是10个，9与10相乘，共是90个，折半45个，作45份算；用126÷45=2.8（两），就是二两八钱（1两=10钱），此第九小杯，其重如此。”随即从丫环带的小算袋内取出两个算筹摆下，用笔写出，大杯重二十五两二钱、第二个杯子重二十二两四钱、第三个杯子重十九两六钱、第四个杯子重十六两八钱、第五个北重十四两、第六个杯子重十一两二钱、第七个杯子重八两四钱、第八个杯子重五两六钱。

宝云看了，很觉惊奇，问道：“姐姐何以一望就知各杯轻重呢？”

同学们，其实米兰芬这样想的：这9个杯子的重量是成倍递增的，那么它们的重量恰好是一个等差数列。她把小杯子的重量看着1份，其它8只杯子的中分别是2份、3份、4份……8份、9份。9个杯子一共是1+2+3+4+…+8+9=（1+9）×9÷10=45（份），小杯的重量是1份，就是126÷45=2.8（两），很快能算出其它杯子重量是2.8×9=25.2（两），2.8×8=22.4（两），2.8×7=19.6（两）……

宝云命人拿秤一称，果然不错。

四、算花灯

在算出桌子周长、金杯重量后，众才女在女主人卞宝云的带领下，在一片音乐声中，来到后花园小鳌山，观赏彩灯。只见三面串连大楼二十七间，南面一带是低廊，楼上楼下都挂着灯球，各种花样，五色鲜明，光华灿烂，宛如繁星，高低疏密，接接连连，令人应接不暇。

卞宝云说：“楼上的灯有两种：一种上有3个大球，下缀6个小球，大小球9个为一盏；另一种上有3个大球，下缀18个小球，大小求21个为1盏；大球共396个，小球共1440个。楼下的灯也分两种：一种是上有1个大球，下缀2个小球；另一种是上有1个大球，下缀4个小球。大球共360个，小球共1200个。你们知道楼上、楼下不同型号球灯各有多少盏吗？”

有的才女说：“我们一边看，一边数，自然知道有多少盏灯了。”

米兰芬说：“我看可以算出来，用解‘鸡兔同笼’的方法解。以楼下灯为例：将小灯球数1200折半得600，减去大灯球数360，即得缀四个小灯球的灯数为240，用360减240得120，即得缀二个小灯球的灯数为120。

接着，大伙又让米兰芬算出了楼上的两种灯的盏数。卞宝云叫仆人拿出做灯的清单，发现大家算的丝毫不差。

其实“鸡兔问题”源于《孙子算经》。据说编写《孙子算经》的孙子，年轻时到一位朋友家中去作客，看到朋友家养了不少鸡、兔，随口问道：“您家养了多少只鸡和兔？”朋友回答说：“鸡、兔共35只，脚数共94只，请先生算一下，鸡、兔各有多少只？”孙子听了很感兴趣，几经思考，终于找出了答案。

　孙子的解法是，先假定让鸡“金鸡独立”（一只脚着地），兔“玉兔拜月”（前脚抬起，后面两只脚着地），就是说鸡和兔各砍去脚数的一半，即它们的总脚数只有94÷2=47(只)，这时鸡的头数和脚数相等，而每头兔和脚数相差1。于是现在总头数与总脚数相差47-35=12(只)。显然，这12就是兔的只数。因此鸡是35-12=23(只)。

你们米兰芬解法的算理吗？能算出楼上两种灯各有多少盏灯吗？如果你能正确算出来，你一定是一个才子或者才女了。