f(x)=1-sinx/2+cosx的值域

sin(x/2)+cosx?oR (sinx)/2+cosx
1、(sinx)/2+cosx
假设cty=1/2,siny=2/√5
F（X）=ctgy*sinx+cosx
=1/siny(cosy*sinx+siny*cosx)
=√5/2sin(x+arctan2)
增函数：2k∏-∏/2≤x+arctan2≤2k∏+∏/2
2k∏-∏/2-arctan2≤x≤2k∏+∏/2-arctan2
减函数：2k∏+∏/2≤x+arctan2≤2k∏+3∏/2
2k∏+∏/2-arctan2≤x≤2k∏+3∏/2-arctan2

f(0)=-1 所以非奇
f(-x)=sin(-x)-cos(-x)=-sinx-cosx不等于f(x)
所以非奇非偶

可以使用几何意义,但不好输入
用代数法吧
y=(2-sinx)/(2+cosx)
2y+ycosx=2-sinx
sinx+ycosx=2-2y
√（1+y²）sin(x+∅)=2-2y
sin(x+∅)=(2-2y)√（1+y²）
所以 |2-2y|≤√（1+y²）
两边平方 4y²-8y+4≤1+y²
3y²-8y+3≤0
(3y-1)(y-3)≤0
1/3≤y≤3
值域【1/3,3】

y=根号3sinx/2+1-2sin(x/2)^2
a=sin(x/2)∈[-1,1]
y=-2a^2+根号3a+1
取最大值的点a=根号3/4,y=-2*3/16+3/4+1=11/8
最小值点a=-1 y=-2-根号3+1=-1-根号3
值域是[-1-根号3,11/8]
sinx/2的周期是cosx的两倍,且两者初相相同,那么当sinx/2取最小值的时候,x/2=3π/2+kπ,x=3π+2kπ,cosx也取得最小值,
所以最小值为-1-根号3
但是没办法求最大值

答：f(x)'＝cosx/2-sinx
相关公式：若F（x)=f(x)+g(x),则F（x)'=f(x)'+g(x)'；若F（x)=f(g(x)),则F（x)=g(x)'f'(g(x))；若F（x)=f（x)g(x),则F（x)=f'（x)g(x)＋f（x)g'(x)

sin(x/2)+cosx?oR (sinx)/2+cosx
1、(sinx)/2+cosx
假设cty=1/2,siny=2/√5
F（X）=ctgy*sinx+cosx
=1/siny(cosy*sinx+siny*cosx)
=√5/2sin(x+arctan2)
增函数：2k∏-∏/2≤x+arctan2≤2k∏+∏/2
2k∏-∏/2-arctan2≤x≤2k∏+∏/2-arctan2
减函数：2k∏+∏/2≤x+arctan2≤2k∏+3∏/2
2k∏+∏/2-arctan2≤x≤2k∏+3∏/2-arctan2
或
cosx=1-2(sinx/2)^2
换元令sinx/2=t
f(x)=t+1-t^2
然后配方根据t的范围-1到1就可以了

解题思路：（1）利用导数研究函数的单调性极值与最值、余弦函数的单调性即可得出；
（2）f（x）≤a在[0，2π]有解，则f（x）_min≤a，再利用（1）可得f（x）的单调性，即可得出．

（1）f′（x）=
cosx(2+cosx)−sinx(−sinx)
(2+cosx)2=[2cosx+1
(2+cosx)2，
当2kπ−
2π/3＜x＜2kπ+
2π
3]（k∈Z）时，cosx＞−
1
2，可得f′（x）＞0；
当2kπ+
2π
3＜x＜2kπ+
4π
3（k∈Z）时，cosx＜−
1
2，即f′（x）＜0．
因此函数f（x）的单调递增区间为(2kπ−
2π
3，2kπ+
2π
3)(k∈Z)，单调递减区间为(2kπ+
2π
3，2kπ+
4π
3)(k∈Z)．
（2）f（x）≤a在[0，2π]有解，则f（x）_min≤a，
由（1）可知x∈[0，
2π
3]，[
4π
3，2π]递增，x∈[
2π
3，
4π
3]递减，
∴f（x）_min=min{f（0），f(
4π
3)}，
f（0）=0，f(
4π
3)＝−

3
3，
∴a≥−

3
3．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、余弦函数的单调性、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．