用范德蒙德行列式计算 （1）a b ca2 b2 c2b+c c+a a+b(2)1 1 1 11+a1 1+a2 1+

范德蒙德行列式是如下形式的, 1 1 …… 1 x1 x2 …… xn x1^2 x2^2 …… xn^2……x1^(n-1) x2^(n-1) …… xn^(n-1) 其第一行的元素全部是1,（可以理解为x1,x2,x3……xn的零次方...

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用
我们知道,n阶范德蒙德行列式
,
当这些 两两互异时, ．这个事实有助于我们理解不少结果．
例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．
证 设 有 个互异的零点 ,则有
, ．
即
这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式
,
因此 ．这个矛盾表明 至多有n个互异根．
例2 设 是n个两两互异的数．证明对任意n个数 ,存在惟一的次数小于n的多项式 ：
,
使得 , ．
证 从定义容易看出 的次数小于n,且 ,故只需证明唯一性即可．
设 满足
, ,
即
这个关于 的线性方程组的系数行列式
,
故 是唯一的,必须 ．
这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．
例3 设 是 个复系数多项式,满足
,
证明 ．
证 设 ,取 ,分别以 代入,可得
这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式
,
因此 ．
例4 设n是奇数, 是 个复系数多项式,满足
,
证明 ．
证 注意到当n是奇数时,
,
可按照例3的思路完成证明．
例5 设A是个n阶矩阵,证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关．
证 设 是A的两两不同的r个特征值,非零向量 适合
, ,
假设
,
那么有
, ．
即
,
注意到
,
必须 ,于是 ,这证明了 线性无关．
例6 计算行列式
,
其中 ．
解 注意到下面的等式：
即得
．
例7 计算行列式
,
其中 ．
解 直接利用例6可得
．
例8 设 是正整数,证明n阶行列式
能被 整除．
证 直接运用例6、例7可得
能被 整除．
例9 计算n阶范德蒙德行列式
,
其中 ．
解 注意到 当且仅当 ,可得
,
由此 , 的模 ．现在来确定 的幅角：令 , ,故
对于上面考虑的j和k,总有 ,这意味着 ,因此
,
由此可设 ,其中
这样就求得了 ．
例10 证明缺项的n阶范德蒙德行列式
证 按 的第一行展开行列式,可得
例11 设有n个常数 ,n个两两不同的常数 以及由x的恒等式
定义的一个多项式 ．对于一个已知多项式 ,定义另一个多项式 ,它为上面的恒等式中将 分别代之以 所得的x的恒等式所确定．证明用多项式 除以 所得的余式为 ．
证 由于n阶范德蒙德行列式
,
按题设这里的行列式的最后一列展开,可知 是个次数小于n的多项式．从条件知对每个 ,
,
必须 , ．由拉格朗日插值公式知
．
同理可求出由恒等式
所定义的多项式
．
设 ,其中 的次数小于n．为证 ,只需证明 时, 即可．事实上,对每个 , 是易见的,因此结论成立．
例12 设 在 上连续,在 内存在2阶导数,证明在 上有
,
这里 ．
特别地,存在 ,使
．
证 在 上构造函数
,
则 在 上连续,在 内存在2阶导数．因 ,由中值定理存在 ,使 ,故再运用一次中值定理,存在 ,使 ,即
,
展开行列式即得
．
特别地,取 ,则有相应的 ,使上式成立,即
,
化简即得
．
例13 设 在 内存在 阶导数, ．证明存在 ,使
．
证 在 上构造函数
,
在 内存在 阶导数．因 ,反复利用微分中值定理,存在 ,使 ,即
．
按第一行展开行列式得
,
左边按最后一列展开行列式,化简可得
．
例14 设 在 内存在n阶导数,这里 ．证明存在 ,使
．
证 置 , ,则 ．于是例14在本质上是例13的特殊情形．

Vandermonde行列式是以下形式的,
1 1 .1
X1 X2 .XN
X1 ^ 2×2 ^ 2 .XN ^ 2
X1 ^（N-1）×2 ^（N-1）.XN ^（N-1）
所有第一行的元素为1时,（可以理解为X1,X2,X3 .第零个）元件的
XN第二行是X1,X2,X3 .XN,（即X1,X2,X3 .XN一侧）
所以,
为元素的第n行X1 ^（N-1）×2 ^（N- 1）.XN ^（N-1）（即X1,X2,X3 .XN第n-1次方）
这个值等于行列式（希-XJ）是相同的因素（N> = I> J> = 1）,
都相同的因素是所有满足（N> = I> J> = 1）西XJ的所有产品必须考虑到,
例如X2-X1,X3,X1,X3-X2 .XN-XN-1
是一个乘法公式
所以在这里,你给行列式实际上是转置的Vandermonde行列式D ^当然T,的值是相同的
X1 = 1,X2 = 2,X 3 = 3,4 = 4因此
D =（X2-X1）*（X3-X1）*（X4-X1）*（X3-X2）*（X4-X2）*（X4-X3）
= 1 * 2 * 3 * 1 * 2 * 1
= 12

你书上是吧第一行xa减到后两行.

不用加边（即你说的补行）,只要按第四行（元素都为四次方的那行）展开即可

第一步是：前（n-1）行都分别减去最后一行
第二部是：前（n-1）行：第i行的（-1/ai）倍分别加到最后一行

话说你的这个行列式根本就不满足范德蒙德行列式的要求
如果将第二行换成{1,2,4,8}还差不多
将行列互换后,满足范德蒙德行列式,而值不变

不是
这是范德蒙行列式的转置形式!
--注意第2行的元素是: 1,2,2^2,2^3

应该是下面的元素减上面的元素的乘积

补一行一列第三行补为a^3...第4列补为1,x,x^2,x^3,x^4,一方面将行列式按范德蒙德行列式求值.
另一方面按第4列展开,对比两边x^3的系数,即得结果.

解法:作辅助行列式D1:在D中补上缺少的那一行,最后一列补上 1,x,x^2,...,x^(n-1)
比如 少的是第3行,则 D = D1的x^2的系数 再乘 (-1)^(3+n)

最好你自己也【具体点】,谢谢!
【比如：10阶的《范德蒙德》,是缺0次方行,还是缺一次方行,还是.9次方行?】
见过的这类题通常是四阶的,有四次方行,缺三次方行,方法是构造一个辅助行列式——五阶的完整《范德蒙德》,结果为辅助行列式中辅助元素三次方项的系数行列式的相反数.

这相当于第一行跟第二行交换顺序,再与第三行交换顺序,.,再与第n行交换顺序,即现在的行列式为原行列式乘以（-1）^(n-1)

范德蒙德行列式
1 1 …… 1
x1 x2 …… xn
x1^2 x2^2 …… xn^2
……
x1^(n-1) x2^(n-1) …… xn^(n-1) =（Xi -Xj）的全体同类因子乘积（n>=i>j>=1）
全体同类因子就是说所有满足（n>=i>j>=1）的Xi -Xj都要乘进去,
比如说X2 -X1、X3 -X1、X3 -X2……Xn -Xn-1
是一个连乘式子

第一行加到第4行
第4行提出a＋b＋c＋d
第4行依次与上一行交换,至第一行
即化为范德蒙行列式

范德蒙行列式可用于证明某组向量线性无关.
比如T是R^n上的一个线性变换,λ1,...,λk为其k个互不相等的特征值,
α1,...,αk为相应的特征向量,W为T的不变子空间,β=α1+...+αk为W中的向量,
证明W的维数不小于k
证明：
由于β∈W,故对β作用多少次T结果也还在W中,
故β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)都在W中
只需证明β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)线性无关
由于
β=α1+...+αk
Tβ=λ1α1+...+λkαk
.
T^(k-1)β=λ1^(n-1)α1+...+λk^(k-1)αk
若存在l1,...,lk使得∑[i=1,k]liT^(i-1)β=0
则V(l1,...,lk)'=0①
V为k阶范德蒙矩阵,且λ1,...,λk彼此不等,故V满秩
故①只有零解,即l1,...,lk全为零
故β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)线性无关
故dim(W)≥k

这与行列式的阶数n有关.
将第n行依次与上一行交换,交换n-1次到第一行
同样,将新的第n行(原n-1行)依次与上一行交换,交换n-2次到第二行
...
共交换 (n-1)+(n-2)+...+1 = n(n-1)/2 次.
所以行列式等于 (-1)^[n(n-1)/2] 乘原行列式.

还是慢慢化吧,直接用范德蒙更好：
原式从第三行展开=a^2(c-b)-b^2(c-a)+c^2(b-a)
=a^2c-a^2b-b^2c+b^2a+c^2(b-a)

第一行加到第三行得到 a+b+c，a+b+c，a+b+c
∴第三行可以提公因式a+b+c出来，变为1,1,1
交换第三行和第二行，再交换第二行和第一行，最后得到
1 1 1
a b c
a² b² c²
这里交换了两次，所以行列式不变号
所以由范德蒙德行列式得上面那个行列式=(c-a)(c-b...

不是说构造辅助行列式第一行全为1的,第二行开始是原行列式.原行列式是辅助行列式y^n-1的余子式.

把公式带入就可以了
原式=（x3-x2）(x3-x1)(x2-x1)(y-x1)(y-x2)(y-x3)(y-1)

上下翻转,要逐行处理
将最后一行与上n行由下至上逐行交换
再将最后一行与上n-1行由下至上逐行交换
...
共交换 n+(n-1)+...+1 = n(n+1)/2 次
以同样方式处理列,进行左右翻转,交换的次数与上相同
所以最后的结果是正负不变
原行列式 =
1 1 ...1
a-n a-n+1 ...a
.
= n!(n-1)!.2!1!

范德蒙德行列式是如下形式的,
1 1 …… 1
x1 x2 …… xn
x1^2 x2^2 …… xn^2
……
x1^(n-1) x2^(n-1) …… xn^(n-1)
其第一行的元素全部是1,（可以理解为x1,x2,x3……xn的零次方）
第二行的元素则为x1,x2,x3……xn,（即x1,x2,x3……xn的一次方）
以此类推,
第n行的元素为x1^(n-1) x2^(n-1) …… xn^(n-1) （即x1,x2,x3……xn的n-1次方）
这个行列式的值是等于（Xi -Xj）的全体同类因子乘积（n>=i>j>=1）
全体同类因子就是说所有满足（n>=i>j>=1）的Xi -Xj都要乘进去,
比如说X2 -X1、X3 -X1、X3 -X2……Xn -Xn-1
是一个连乘式子

不知道你想问什么?是用语言陈述《范德蒙》的计算公式,还是举例说明《范德蒙》在实际计算中的应用?既然可以产生这样的【歧义】,说明你提问的方式有问题.你最好直接把你想表达的意思【不怕麻烦】的详细陈述清楚.也许你...

不用考虑x,a,b,c的大小,只要用”后面“的数减"前面“的即可,把所有这些可能的差都求出来,然后连乘即可,本题中按照后面减前面的规则,可能的差有a-x,b-x,c-x,b-a,c-a,c-b,把这些项连乘起来就等于(a-x)(b-x)(c-x)(b-a)(c-a)(b-c)

构造辅助行列式D1
1 1 ...1 1 1
x1 x2 ...xn-1 xn y
............
x1^n-2 x2^n-2 ...xn-1^n-2 xn^n-2 y^n-2
x1^n-1 x2^n-1 ...xn-1^n-1 xn^n-1 y^n-1
x1^n x2^n ...xn-1^n x1^n y^n
则D1是Vandermonde行列式
D1 = (y-x1)...(y-xn) ∏(xj-xi)
注意到原行列式即D1的 y^n-1 的余子式
所以原行列式
= y^n-1 的系数 * (-1)^(n-1+n+1)
= y^n-1 的系数
= -(x1+x2+...+xn)∏(xj-xi)

(c-a)(c-b)(b-a) 你展开错了,应该有6项
结果是一样的

用数学归纳法.
如：当n=2时
范德蒙德行列式D2=x2-x1范德蒙德行列式成立
现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有:
首先要把Dn降阶,从第n行起用后一行减去前一行的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1于是就有Dn=||(xi-xj)(其中||表示连乘,i,j的取值为m>=i>j>=2),原命题得证.