多值函数与映射是否矛盾?《高等数学》同济大学第五版里面提到个多值函数,但是函数的多值性与映射的多（或单）对一矛盾了,函数

这个问题我也关注过,在老教材上函数的定义不要求唯一,所以多值函数是函数,但现在一般都定义了唯一,在这个意义上,多值函数不是一种函数.其实这只是定义的改变,并不影响实质.即使在应用时,也还是是要把多值函数拆成若干个单值函数.而且除了同济这一版,其他的教材貌似都没把多值函数当函数了,可能是排版的疏忽吧.

y=arcsinx是多值函数.
一个x可以对应两个y.

这么说吧,映射不可以“一对多”.
函数的定义是源于：
对映——映射——函数.
然后函数还有扩展.非常广.
比如：函数当然可以扩展到复数域啦.复函数嘛.
所以说,那个函数定义是狭义的.指的是狭义的“函数”的定义.
广义的“函数”就包括很多了.比较抽象.
多值函数不是狭义的函数,但是广义的函数.

y=Arcsinx它是y=sinx的反函数,关于y=x对称,则y=arcsinx的图像是立起来的,对于一个x在[-1,1],有无数个解和它对应,故是多值函数.

映射中允许一个象对应多个原象,不允许多个象对应一个原象,函数只是映射中的一种,两个并不矛盾

看得出来LZ是经过自己思考的,这很好~
按照中学里反函数的定义,LZ的理解基本正确!只是"1"有一点小问题：f有反函数的充要条件是f为单射,并不一定f严格单调.如果定义在某区间上的函数f连续,那么f为单射等价于f严格单调.如果f不连续,那么f有反函数未必需要f严格单调.
除此之外,2,3,4都是正确的.在严格的函数意义下,三角函数整体不是单射,无反函数.三角函数限定在一个单调区间内形成了一个新函数,反三角函数是指这个新函数的反函数.由于原函数是单调的,反三角函数确实也是单调的.
当然,以上讨论限制在严格的函数概念上.书上说的意思是允许考虑所谓“多值函数”,这里要注意,多值函数不是严格意义上的函数,因为一个自变量可能应该到多于一个的函数值.
用映射的语言说,f:A->B是个满射.如果f不单,那么f逆不是映射.但是如果对任意y∈B,定义f^(y)={x∈A:f(x)=y},尽管f^未必是映射,还是可以把f^称为B->A的一个“多值函数”,这时f^在某点处的值可能并不是一个数而是一个集合.“多值函数”实际是函数概念的一种推广.
以f(x)=sinx,x∈R为例.它不是单射,无严格意义下的反函数,因为对y∈[-1,1],满足sinx=y,x∈R的x不止一个.但在上面所说的“多值函数”意义下,f可以有反函数f^,f^在某点取值为一个数集,例如f^(0)={kπ:k为整数}.
简单来说,你的理解基本没问题.书上这样说是因为它考虑了多值函数,这已经超出了严格意义上的“函数”概念,是一种推广的函数.

是函数,定义域为R,值域为（-∏/2,∏/2).

你写的那个应该叫方程,它对应的图象是圆,如果你要叫它函数,就必须指定定义域和值域,使其符合映射,这样函数与映射不矛盾.至于各种方程,因为指数可以变化,对应的图象有无数种,但典型的就只有几种,圆,椭圆,双曲线,抛物线,也是我们常见的二次的方程

多值函数枝点是奇点,用解析延拓的方法解释更容易

多值函数的确不是函数~
是类似于x^2+y^2=1
这样的方程函数

我们通常说的函数是指单值函数,设f:A→B即对每一个x∈A,有唯一一个y∈B与之对应,即使f(x)=y.
映射分为单射、满射和双射.函数必须是满射,所以函数可以分成一一对应和多对一.前者如f(x)=x+1,后者如f(x)=x^2.
一一对应很好理解,如果定义域和值域都是有限集合,则它们的元素个数必定相等.
对于多对一,如果我们用箭头x0→y0表示一个对应f(x0)=y0,并定义 f-1(y)=x,当存在f(x)=y,即把箭头反向,那么映射f-1就是一对多映射,函数就由单值函数变成了多值函数.多值函数可分解成若干单值函数.
补充：楼主,你有点钻牛角尖了.函数确实可以分为单值函数（通常意义下的函数概念）和多值函数,但是两者只是概念上的区别,具体要看应用,我举个例子你加深理如方程x^2+y^2=1,-1≤x≤1确定了一个函数关系y=f(x).如果我们规定y≥0,那么y=f(x)就是一个单值函数,解析式为y=f(x)=sqrt(1-x^2),同理y≤0也确定了单值函数y=f(x)=-sqrt(1-x^2).如果我们规定-1≤y≤1,那么y=f(x)就是一个多值函数,因为对每一个x∈(-1,1),有两个y=±sqrt(1-x^2)与之对应,它可以分解成两个函数y=f(x)=sqrt(1-x^2),y≥0和y=f(x)=-sqrt(1-x^2),y≤0.
对于多值函数,我们一般用方程f(x,y)=0表示,对于单值和多值并不严格区分.你学了方程和曲线后理解就更加深刻了.

有个经验是 你往后做
遇到开偶数次方时 会是多值的 2值
我认为这样可以解决大多数情况
圆的方程是多值的 因为要开根号

不矛盾,请看

这个问题我也曾经考虑过的,我的理解是他们属于两种不同的角度去定义函数,如果定义函数是非空集合上的映射,那么多值函数是不存在的,因为这不符合映射的定义.如果定义函数是非空集合上的某种对应法则,那么多值函数是可以存在的,因为对应法则可以不是映射.而且很多时候多值函数加上某些限制条件也可以变成单值函数的.

如果当函数的变量取某一定值的时候,函数就有一个唯一确定的值,那么这个函数解就叫做单值解析函数,多项式就是这样的函数. 复变函数也研究多值函数,黎