AB=AD=4,AB=AD=BE=CE,ABED和AECD都是平行四边形,ABCD是等腰梯形,角EAD=角B=角C

1年前

（1）记A₁在面ABCD内的射影为O，
∵∠A₁AB=∠A₁AD，∴O在∠BAD的平分线上，
又AB=AD，∴∠BAD的平分线即菱形ABCD的
对角线AC，故O在AC上；∵cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB
∴cos∠A₁AO=

3
3，∴sin∠A₁AO=

6
3，AO=
3
cos∠ACC₁=-

3
3；又AC=4
3，在△ACC₁中由余弦定理得AC₁=9；
所以AC₁=9；

（2）在△A₁AO中，A₁O=
6，
V_{ABCD-A1B1C1D1}=4×4×

3
2×
6=24
2．
注：求AC₁的长还可以用向量：
.
AC1＝
.
AB+
.
BC+
.
CC1，平方即可．

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；余弦定理．

考点点评： 本题考查几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．解题关键在于，正确解三角形．

∵3

AB•

AD+4

CB•

CD=0，
∴3|AB||AD|cosA+4|CB||CD|cosC=0，
∵AB=AD=4，BC=6，CD=2，
∴可得cosA=-cosC
∵0∴A+C=π，∴B+D=π，即cosB=-cosD
由余弦定理得|AC|²=|AB|²+|BC|²-|AB||BC|cosB=52-48cosB①|
AC|²=|AD|²+|CD|²-2|AD||CD|cosD=20-16cosD=20+16cosB②
联立①②解得：cosB=[1/2]，|AC|=2
7，
∴sinB=

3
2
设三角形ABC的外接圆的半径为R，根据正弦定理得2R=
|AC|
sinB，
∴R=
2
21
3
故答案为：
2
21
3

点评：
本题考点： 向量在几何中的应用．

考点点评： 本题考查向量知识的运用，考查余弦定理、正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

过点A向BC作垂线，垂足为E，
∵AD=CE=4，BC=6，所以BE=2，
∴∠EAB=30°，∠DAB=120°，
根据勾股定理可知AE²=16-4=12，
∴扇形面积为[120π•12/360]=4π．

点评：
本题考点： 扇形面积的计算；梯形．

考点点评： 主要考查了扇形的面积公式和梯形中的计算问题．

过点A向BC作垂线，垂足为E，
∵AD=CE=4，BC=6，所以BE=2，
∴∠EAB=30°，∠DAB=120°，
根据勾股定理可知AE²=16-4=12，
∴扇形面积为[120π•12/360]=4π．

点评：
本题考点： 扇形面积的计算；梯形．

考点点评： 主要考查了扇形的面积公式和梯形中的计算问题．

过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∵AB=AD=4，BC=6，
∴CE=AD=4，BE=2
∴AE=2
3，∠BAE=30°
∴∠BAD=90°+30°=120°
∴扇形的周长=2×2
3+
120π•2
3
180=4
3+
4
3
3π．

点评：
本题考点： 弧长的计算；直角梯形；切线的性质．

考点点评： 本题要熟知切线的性质，直角梯形的性质和扇形弧长计算公式（l=[nπr/180]）．利用切线的性质求得AE的长即半径是解题的关键，注意扇形的周长为两条半径的长加上弧长．