在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=38°,BC平分∠ABC,CE⊥BD,求∠DCE的度数

（1）证明：取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，
∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，
∵BC是∠DBE平分线，
∴∠DBC=∠CBA，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC ∥ DB，（内错角相等，两直线平行），
∴
OC
BD =
CE
DE ，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，
∵OC=r，
∴BD•CE=DE•r．
∵∠D=90°，∠E=30°，
∴∠DBE=60°，
∴∠CBE=
1
2 ∠DBE=30°，
∴∠CBE=∠E，
∴CE=BC，
∴BC•BD=r•ED．

（2）BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，
设圆的半径长是r，则OC=OA=r，
∵OC ∥ DB，
∴△OCE ∽ BDE，
∴
OC
BD =
OE
BE =
CE
DE ，即
r
3 =
OE
5 =
CE
4
解得：OE=
5
3 r，CE=
4
3 r．
CH=
OC•CE
OE =
4
5 r，
∵BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，
∴BH=BD=3，
则HE=2．
∴CD=CH=
4
5 r．
在直角△CHE中，根据勾股定理得：CH ² +EH ² =CE ² ，
即（
4
5 r）2+2 ² =（
4
3 r） ² ，解得：r=
15
8 ，
则AE=BE-2r=5-
15
4 =
5
4 ．

DC/CE=BD/BE
DC+CE=4
BD=3
BE=√(BD²+DE²)=5
DC=3/2
BC²=BD²+DC²=45/4
AB/BC=BC/BD
AB=BC²/BD=15/4
AE=BE-AB=5/4

（1）取AB中点O,△ABC是Rt△,AB是斜边,O是外接圆心,连接CO,
∴BO=CO,∠BCO=∠OBC,
∵BC是∠DBE平分线,
∴∠DBC=∠CBA,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥DB,（内错角相等,两直线平行）,
∴ OC/BD=CE/DE,把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC,
∵OC=r,
∴BD•CE=DE•r．
(2)设OC=OB=OA=rAE=5-2r 因为△COE∽△DBE所以BDBE=OCOE=35∴rr+5-2r=35∴r=10/3∴AE=5-10/6=10/3

解题思路：（1）求出∠PBO+∠PDO=180°，根据角平分线定义得出∠CBO=[1/2]∠PBO，∠ODF=[1/2]∠PDO，求出∠CBO+∠ODF=90°，求出∠CBO=∠DFO，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出∠ABO=∠PDA，根据角平分线定义得出∠CBO=[1/2]∠ABO，∠CDQ=[1/2]∠PDO，求出∠CBO=∠CDQ，推出∠CDQ+∠DCQ=90°，求出∠CQD=90°，根据垂直定义得出即可；
（3）分为两种情况：根据三角形面积公式求出即可．

（1）证明：如图1．
∵在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），
∴∠AOB=90°．
∵DP⊥AB于点P，
∴∠DPB=90°，
∵在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，
∴∠PBO+∠PDO=180°，
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴∠CBO=[1/2]∠PBO，∠ODF=[1/2]∠PDO，
∴∠CBO+∠ODF=[1/2]（∠PBO+∠PDO）=90°，
∵在△FDO中，∠OFD+∠ODF=90°，
∴∠CBO=∠DFO，
∴DF∥CB．

（2）直线DF与CB的位置关系是：DF⊥CB，
证明：延长DF交CB于点Q，如图2，
∵在△ABO中，∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∵在△APD中，∠APD=90°，
∴∠PAD+∠PDA=90°，
∴∠ABO=∠PDA，
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴∠CBO=[1/2]∠ABO，∠CDQ=[1/2]∠PDO，
∴∠CBO=∠CDQ，
∵在△CBO中，∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠CDQ+∠DCQ=90°，
∴在△QCD中，∠CQD=90°，
∴DF⊥CB．

（3）过M作MN⊥y轴于N，
∵M（4，-1），
∴MN=4，ON=1，
当E在y轴的正半轴上时，如图3，
∵△MCE的面积等于△BCO面积的[5/8]倍时，
∴[1/2]×2×OE+[1/2]×（2+4）×1-[1/2]×4×（1+OE）=[5/8]×[1/2]×2×4，
解得：OE=[7/2]，
当E在y轴的负半轴上时，如图4，
[1/2]×（2+4）×1+[1/2]×（OE-1）×4-[1/2]×2×OE=[5/8]×[1/2]×2×4，
解得：OE=[3/2]，
即E的坐标是（0，[7/2]）或（0，-[3/2]）．

点评：
本题考点： 平行线的判定与性质；坐标与图形性质；垂线；三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质．

考点点评： 本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，坐标与图形性质，三角形的面积的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．

因为∠ABC=40° ∠ACB=100°,在三角形中,∠CAB=40° ,所以BC=AC.又因为BE平分∠ABC CE平分∠ACD,所以∠EBD=20°,∠ECD=40°.由内角定理,可得,∠BEC＝20°,所以BC=CE,由此可得BC=CE=AC,所以∠CAE=∠AEC=70°,所以∠FAE＝70°.

因为平行所以BDE=DBC 因为是角平分线所以DBC=DBE.DBE=BDE 所以BE=DE,所以他是等腰三角形.我确定.