f(x)=a1sin(x+β1)+a2sin(x+β2)+…+ansin(x+βn),其中ai、βi(i=1,2,…,n
![](images/u2507.png)
(1)若f(0)=0,f(
π |
2 |
(2)若f(0)=0,则f(x)是奇函数;
(3)若f(
π |
2 |
(4)若f2(0)+f2(
π |
2 |
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横笛立马 共回答了16个问题
|采纳率75%- 解题思路:根据和差角公式,类比推理可将函数f(x)=a1sin(x+β1)+a2sin(x+β2)+…+ansin(x+βn)的解析式化简为f(x)=Msin(x+φ)的形式,进而根据三角函数的图象和性质,逐一判断四个答案,可得结论.
∵f(x)=a1sin(x+β1)+a2sin(x+β2)+…+ansin(x+βn)=Msin(x+φ)
(1)中,若f(0)=Msinφ=0,f([π/2])=Mcosφ=0,则M=0,所以f(x)=0恒成立,故(1)正确;
(2)中,若f(0)=Msinφ=0,所以sinφ=0,所以f(x)=±Msinx,f(-x)=
.
+Msinx,故f(-x)=-f(x),故f(x)奇函数,故(2)正确;
(3)中,若f([π/2])=Mcosφ=0,所以cosφ=0,所以f(x)=±Mcosx,f(-x)=
.
+Mcosx,故f(-x)=f(x),故f(x)偶函数,故(3)正确;
(4)中,若f2(0)+f2(
π
2)≠0,且当x1≠x2时f(x1)=f(x2)=0,则x1,x2相差半个周期的整数倍,由f(x)=Msin(x+φ)的周期为2π可得x1-x2=kπ(k∈Z),故(4)正确;
故答案为:(1)(2)(3)(4)点评:
本题考点: 命题的真假判断与应用.
考点点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的真假判断与应用,其中将已知中函数的解析式化为f(x)=Msin(x+φ)的形式,是解答的关键. - 1年前
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(理)设函数f(x)=a1•sin(x+α1)+a2•sin(x+α2)+…+an•sin(x+αn),其中ai、αi(i=1,2,…,n,n∈N*,n≥2)为已知实常数,x∈R.
下列关于函数f(x)的性质判断正确的命题的序号是______.
①若f(0)=f(
)=0,则f(x)=0对任意实数x恒成立;π 2
②若f(0)=0,则函数f(x)为奇函数;
③若f(
)=0,则函数f(x)为偶函数;π 2
④当f2(0)+f2(
)≠0时,若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2=kπ(k∈Z).π 2 吻伤1年前1
-
000610 共回答了11个问题
|采纳率81.8%解题思路:对于②,先由f(0)=0,得出a1•sin(α1)+a2•sin(α2)+…+an•sin(αn)=0,要判断函数为奇函数,只需验证f(-x)+f(x)=0;
对于③,先由f(
)=0,得出-a1•cos(α1)-a2•cos(α2)+…-an•cos(αn)=0,要判断函数为偶函数,只需验证f(-x)-f(x)=0;π 2
对于①:由①知函数f(x)为奇函数,由②知函数为偶函数,从而f(x)=0;
对于④:当f2(0)+f2(
)≠0时,由f(x1)=f(x2)=0,得(sinx1-sinx2)(a1cosα1+…+ancosαn)+(cosx1-cosx2)(a1sinα1+…+ansinαn),故可得结论.π 2 对于②:若f(0)=0,则f(0)=a1•sin(α1)+a2•sin(α2)+…+an•sin(αn)=0,
f(-x)+f(x)=a1•sin(-x+α1)+a2•sin(-x+α2)+…+an•sin(-x+αn)+a1•sin(x+α1)+a2•sin(x+α2)+…+an•sin(x+αn)=cosx[a1•sinα1+a2•sinα2+…+an•sinαn]=0,∴函数f(x)为奇函数;
对于③:若f(
π
2)=0,则f([π/2])=a1•sin([π/2]+α1)+a2•sin([π/2]+α2)+…+an•sin([π/2]+αn)=-a1•cos(α1)-a2•cos(α2)+…-an•cos(αn)=0,∴f(-x)-f(x)=a1•sin(-x+α1)+a2•sin(-x+α2)+…+an•sin(-x+αn)-a1•sin(x+α1)-a2•sin(x+α2)-…-an•sin(x+αn)=sinx[a1•cosα1+a2•cosα2+…+an•cosαn]=0,∴函数f(x)为偶函数;
对于①:若f(0)=f(
π
2)=0,则函数f(x)为奇函数,也为偶函数,∴f(x)=0对任意实数x恒成立;
对于④:当f2(0)+f2(
π
2)≠0时,若f(x1)=f(x2)=0,则f(x1)=a1•sin(x1+α1)+a2•sin(x1+α2)+…+an•sin(x1+αn)=a1•sin(x2+α1)+a2•sin(x2+α2)+…+an•sin(x2+αn)=0,∴(sinx1-sinx2)(a1cosα1+…+ancosαn)+
(cosx1-cosx2)(a1sinα1+…+ansinαn),∴可得x1-x2=kπ(k∈Z).
故答案为:①②③④.点评:
本题考点: 数列与三角函数的综合.
考点点评: 本题的考点是数列与三角函数的综合,主要考查三角函数的化简,考查新定义三角函数的性质,解题的关键是一一判断.1年前查看全部
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