要使（x3+ax2-x）•（-8x4）的运算结果中不含x6的项，则a的值应为（　　）

∵f′（x）=x²+2ax+（a²-1），
∴导函数f′（x）的图象开口向上．
又∵a≠0，
∴f（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称
其图象必为第三张图．由图象特征知f′（0）=0，
且对称轴-a＞0，
∴a=-1．
故f（-1）=-[1/3]-1+1=-[1/3]．
故选B．

点评：
本题考点： 二次函数的图象．

考点点评： 本题考查导函数的运算法则、二次函数的图象与二次函数系数的关系：开口方向与二次项系数的符号有关、对称轴公式．

（Ⅰ）g'（x）=3x²+2ax-1，由题意3x²+2ax-1＜0的解集是（-[1/3]，1）
即3x²+2ax-1=0的两根分别是-[1/3]，1
将x=1或-[1/3]代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g'（x）=3x²-2x-1，
∴g'（-1）=4，
∴点P（-1，1）处的切线斜率k=g'（-1）=4，
∴函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程为：y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．
（Ⅲ）∵（0，+∞）⊆P，
∴2f（x）≤g'（x）+2即：2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立可得
a≥lnx-[3/2]x-[1/2x]对x∈（0，+∞）上恒成立．
设h（x）=lnx-[3x/2]-[1/2x]，则h′（x）=[1/x]-[3/2]+[1
2x2=-
(x−1)(3x+1)
2x2
令h′（x）=0，得x=1，x=-
1/3]（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2．
∴a≥-2，
∴a的取值范围是[-2，+∞）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及会用待定系数法求函数的解析式，理解函数恒成立时所取的条件．

由f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1，得：f^′（x）=3x²+2ax+a+6．
因为函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1是R上的单调函数，
所以其导函数f^′（x）=3x²+2ax+a+6在R上恒大于等于0或恒小于等于0，
而导函数是二次函数，且图象开口向上，所以其对应的一元二次方程的判别式恒小于等于0，
即△=（2a）²-4×3×（a+6）≤0，
即a²-3a-18≤0．
解得：-3＜a＜6．
所以a的取值范围是-3＜a＜6．
故选B．

点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，函数在某区间内单调，说明函数的导函数在该区间内同符号．属基础题．

求导函数可得，f′（x）=3x²+2ax+（a+6）
由题意，三次函数为单调函数，则△≤0
∴4a²-12（a+6）≤0
∴a²-3a-18≤0
∴（a+3）（a-6）≤0
∴-3≤a≤6
故选A．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，确定三次函数为单调函数是关键．

f′（x）=3x²+2ax+（a-3），
∵f′（x）是偶函数，
∴3（-x）²+2a（-x）+（a-3）=3x²+2ax+（a-3），
解得a=0，
∴k=f′（0）=-3，
∴切线方程为y=-3x．
故选A．

点评：
本题考点： 导数的运算．

考点点评： 本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，难度中等．

（Ⅰ）当a=1时f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三个互不相同的零点，所以f（x）=x³+x²-x+m，
即m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根．
令g（x）=-x³-x²+x，则g′（x）=-3x²-2x+1=（x+1）（-3x+1）．
∵g（x）在（-∞，-1）和（[1/3]，+∞）均为减函数，在（-1，[1/3]）为增函数，
则g（-1）为极小值且为-1，g（[1/3]）为极大且为[5/27]．
∴m的取值范围（-1，[5/27]）；
（Ⅱ）由题可知，函数f（x）在[-1，1]内没有极值点等价为
方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上没有实数根，
∵

f′(1)＝3+2a−a2≤0
f′(−1)＝3−2a−a2≤0
a＞0，∴a≥3；
（Ⅲ）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-[a/3]）（x+a），且a＞0，
∴函数f（x）的递减区间为（-a，[a/3]），递增区间为（-∞，-a）和（[a/3]，+∞）；
当a∈[3，6]时，[a/3]∈[1，2]，-a≤-3，又x∈[-2，2]，
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0，
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m，
又∵f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，
∴f（x）_max≤1，即-8+4a+2a²+m≤1即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]恒成立．
∵9-4a-2a²的最小值为-87，
∴m≤-87．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查导数在函数中的综合应用：求单调区间、求最值，考查二次方程实根的分布，以及不等式恒成立问题，转化为求最值问题，属于中档题．

（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-[a/3]）（x+a），
又a＞0，∴当x＜-a或x＞[a/3]时f′（x）＞0；
当-a＜x＜[a/3]时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（[a/3]，+∞），单调递减区间为（-a，[a/3]）．
（Ⅱ）由题设可知，方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上没有实根，
∴

f′(−1)＜0
f′(1)＜0
a＞0，解得a＞3．
故a的取值范围为（3，+∞）
（Ⅲ）∵a∈[3，6]，∴由（Ⅰ）知[a/3]∈[1，2]，-a≤-3
又x∈[-2，2]
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a²的最小值为-87
∴m≤-87．
故m的取值范围为（-∞，87]

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，还考查了变量分离的思想方法，属于中档题．

f′（x）=3x²+2ax+（a-3），
∵f′（x）是偶函数，
∴3（-x）²+2a（-x）+（a-3）=3x²+2ax+（a-3），
解得a=0，
∴k=f′（0）=-3，
∴切线方程为y=-3x．
故选A．

点评：
本题考点： 导数的运算．

考点点评： 本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，难度中等．

（1）由题意得f'（x）=3x²+2ax-（2a+3），所以f'（-1）=3-2a-（2a+3）=2，解得a=-[1/2].4分
（2）函数的导数f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3），
由f'（x）=0，得x=1或x=-
2a+3
3，因为f（x）在区间（1，+∞）上不单调，
所以-
2a+3
3＞1，故a＜-3．
（3）因为f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．所以当x∈[-1，1]时，f（x）_min＞0，
①当-
2a+3
3≥1即时，a≤-3时，函数f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
所以fmin⁡(x)=f(-1)=a2+3a+2＞0，解得a＞-1或a＜-2．
故a≤-3 11分
②当-1＜-
2a+3
3＜1，即-3＜a＜0时，
函数f（x）在[-1，-
2a+3
3]上为增函数，在[-
2a+3
3，1]上为减函数
所以f_min（x）=min{f（-1），f（1）}，
故

f(-1)=a2+3a+2＞0
f(1)=a2-a-2＞0，所以a＞2或a＜-2，
所以-3＜a＜-213分
③当-
2a+3
3≤-1即a≥0，函数f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，
所以fmin⁡(x)=f(1)=a2-a-2＞0
所以a＞2或a＜-1，
故a＞2
综上所述，实数a得取值范围为a＞2或a＜-2． 15分

点评：
本题考点： A:利用导数求闭区间上函数的最值 B:利用导数研究曲线上某点切线方程

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性以及最值问题，考查学生的运算能力，综合性较强．

（1）f'（x）=3x2+2ax-6…（1分）由导数的几何意义，f'（1）=-6∴a=-32 …（2分）∵f（0）=1∴b=1…（3分）∴f（x）=x3-32x2-6x+1…（4分）（2）f'（x）=3x2-3x-6=3（x+1...

点评：
本题考点： 导数的几何意义；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．

考点点评： 本题的考查了导数的几何意义、导数的求法以及函数恒成立问题，对于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题，属于中档题．

（I）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3(x−
a
3) (x+a)，
又a＞0，当x＜-a或x＞[a/3]时，f′（x）＞0
当−a＜x＜
a
3时，f′（x）＜0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（[a/3]，+∞），
单调减区间为（-a，[a/3]）
（II）∵a∈[3，6]由（I）知
a
3∈[1，2]，−a≤−3
又x∈[-2，2]
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
∵f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a²的最小值为-87
m≤-87

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数恒成立问题，属于中档题．

由f（x）=x³+ax²-3x-9得，
f^/（x）=3x²+2ax-3
f^/（x）=0的两根为x₁，x₂就是函数的两个极值点
根据韦达定理，得

x1+x2=-
2a
3
x1•x2=-1
故选D

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性，从而得到函数的极值点．一元二次方程根与系数的关系是解决本题的又一个亮点．

求导函数可得，f′（x）=3x²+2ax+（a+6）
由题意，三次函数为单调函数，则△≤0
∴4a²-12（a+6）≤0
∴a²-3a-18≤0
∴（a+3）（a-6）≤0
∴-3≤a≤6
故选A．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，确定三次函数为单调函数是关键．

（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）•（x+a）
令f'（x）＞0，
得x＞
a
3或x＜−a
∴增区间为：(
a
3，+∞)、(−∞，−a)；
（2）当a=1时，f'（x）=（3a-1）•（x+1）
当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表：

x（-∞，-1）-1(−1，
1
3)[1/3](
1
3，+∞)
f'（x）+0-0+
f（x）单调递增↗单调递减↘单调递增↗∴当x=-1时，f（x）取极大值f（-1）=m+1，
∴当x＝
1
3时，f（x）取极小值f(
1
3)＝m−
5
27，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴

m+1＞0
m−
5
27＜0，
∴−1＜m＜
5
27
∴m∈(−1，
5
27)．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数中参数的范围，属于中档题．

函数的导数为y′=f′（x）=3x²+2ax，
∵曲线在点P（-1，b）处的切线平行于直线3x+y=0，
∴曲线在点P处的切线斜率k=-3，
即k=f′（-1）=3-2a=-3，
解得a=3，此时f（x）=x³+3x²，此时b=f（-1）=-1+3=2，
即切点P（-1，2），
则切线方程为y-2=-3（x+1），
即3x+y+1=0
故选：B

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查函数的切线方程以及直线平行的斜率关系，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．

∵f（x）=x³+ax²+（a-3）
∴f'（x）=3x²+2ax+a-3，
∵f'（x）是偶函数，
∴函数的图象关于y轴对称，
∴-[2/3]a=0，
∴a=0，
故答案为：0

点评：
本题考点： 导数的运算；偶函数．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性，解题的关键是看清偶函数的关于Y轴对称的性质，注意应用，本题也可以根据一个多项式是偶函数时，要不存在奇数项，即所有的奇数项系数等于0．

（Ⅰ）当a=1时f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三个互不相同的零点，所以f（x）=x³+x²-x+m，
即m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根．
令g（x）=-x³-x²+x，则g′（x）=-3x²-2x+1=（x+1）（-3x+1）．
∵g（x）在（-∞，-1）和（[1/3]，+∞）均为减函数，在（-1，[1/3]）为增函数，
则g（-1）为极小值且为-1，g（[1/3]）为极大且为[5/27]．
∴m的取值范围（-1，[5/27]）；
（Ⅱ）由题可知，函数f（x）在[-1，1]内没有极值点等价为
方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上没有实数根，
∵

f′(1)＝3+2a−a2≤0
f′(−1)＝3−2a−a2≤0
a＞0，∴a≥3；
（Ⅲ）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-[a/3]）（x+a），且a＞0，
∴函数f（x）的递减区间为（-a，[a/3]），递增区间为（-∞，-a）和（[a/3]，+∞）；
当a∈[3，6]时，[a/3]∈[1，2]，-a≤-3，又x∈[-2，2]，
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0，
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m，
又∵f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，
∴f（x）_max≤1，即-8+4a+2a²+m≤1即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]恒成立．
∵9-4a-2a²的最小值为-87，
∴m≤-87．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查导数在函数中的综合应用：求单调区间、求最值，考查二次方程实根的分布，以及不等式恒成立问题，转化为求最值问题，属于中档题．

由题意，f'（x）=3x²+2ax-1，∴△=4a²+12＞0，所以故该函数必有2个极值点x₁，x₂，x1x2＝−
1
3＜0
不妨设x₁＜0，x₂＞0，易知在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，而f（0）=1，故极大值必大于1，极小值小于1，所以甲、乙、丙三人的说法正确
故选D．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数研究函数的极值，属于基础题．

（1）f′（x）=3x²+2ax-1，由题意可知，f′（x）在（0，1）上恒有f′（x）≤0，则f′（0）≤0且f′（1）≤0，得a≤-1，所以a的最大值为-1 …．（5分）
（2）∵f（x）的单调递减区间是(−
1
3，1)，∴f′（x）=3x²+2ax-1=0的两个根为 −
1
3和1，
可求得a=-1，∴f（x）=x³-x²-x+2，
①若（1，1）不是切点，则设切线的切点为（x₀，y₀），（x₀≠1），则有
y0−1
x0−1＝3
x20−2x0−1y₀=3x₀²-2x₀-1，解得x₀=1（舍），x₀=0，∴y₀=2，k=-1
②若（1，1）是切点，则k=f′（1）=0
综上，切线方程为y=1，x+y-2=0∴这两条切线方程与两坐标轴围成的图形为直角梯形
它的面积S=[1/2(1+2)＝
3
2]…..（13分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题利用导数研究函数的单调性，解题的关键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号．

（1）由于f'（x）=3x²+2ax-5
而函数y=x³+ax²-5x+b在x=-1处取得极值2，则f'（-1）=0，f（-1）=2
即

3−2a−5＝0
−1+a+5+b＝2解得

a＝−1
b＝−1
故实数a和b都为-1；
（2）由于f′（x）=3x²+2ax-5=（3x-5）（x+1）
若令f′（x）＞0，则x＜-1或x＞[5/3]；若令f′（x）＜0，则-1＜x＜[5/3]．
故f（x）的单调递增区间为：（-∞，-1），（[5/3]，+∞）；f（x）的单调递减区间为：（-1，[5/3]）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件，属于基础题．

（1）①当a=0时，f（x）=[1/3]x³．
对任意x∈R，f（-x）=[1/3]（-x）³=-[1/3]x³=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
②当a≠0时，f（x）=[1/3]x³+ax²（a≠0）．
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2a≠0，f（-1）-f（1）=-[2/3]≠0．
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）函数h（x）在x∈[2，+∞）时为增函数，等价于h′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立．
h（x）=f（x）+16x+8=[1/3]x³+ax²+16x+8，h′（x）=x²+2ax+16，
则h′（x）≥0，即x²+2ax+16≥0，
故2a≥−(x+
16
x)在x∈[2，+∞）上恒成立，
∵-（x+
16
x）≤-2
x•
16
x=-8，当且仅当x=4时取等号，
∴2a≥-8，解得a≥-4，
故a的取值范围是[-4，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、函数奇偶性的判断，属中档题，奇偶性问题常用定义解决，恒成立问题常转化为函数最值．

（1）当a=1时，f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴f（x）=x³+x²-x+m=0，即m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根．
令g（x）=-x³-x²+x，则g′（x）=-（3x-1）（x+1）
令g′（x）＞0，可得-1＜x＜[1/3]；令g′（x）＜0，可得x＜-1或x＞[1/3]，
∴g（x）在（-∞，-1）和（[1/3]，+∞）上为减函数，在（-1，[1/3]）上为增函数，
∴g（x）_极小=g（-1）=-1，g（x）_极大=g（[1/3]）=[5/27]
∴m的取值范围是（-1，[5/27]）…（6分）
（2）由题设可知，方程f′（x）=3x2+2ax-a2=0在[-1，1]上没有实数根，
∴

f′(1)＝3+2a−a2＜0
f′(−1)＝3−2a−a2＜0
a＞0，解得a＞3…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，还考查了变量分离的思想方法，属于中档题．

（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
由于x=1是f （x）的极大值点，
故−
2a+3
3＞1，
即a＜-3
（Ⅱ） f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
g′（x）=[1/x]+2bx-（2b+1）=
(x−1)(2bx−1)
x．
由于函数f （x）有极大值，故−
2a+3
3≠1，即a≠-3．
当 a＞-3时，即−
2a+3
3＜1，则f （x）的极大值点x＝−
2a+3
3，
所以，g（x）的极大值点x＝
1
2b，极小值点为x=1．
所以，

−
2a+3
3＝
1
2b
0＜
1
2b＜1⇔

−
2a+3
3＝
1
2b
b＞
1
2，
此时，g（x）的极小值g（1）=b-（2b+1）=-1-b＜-[3/2]＜-1．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 利用导数求函数的极值时，令导数等于0，然后判断根左右两边的导函数符号，导函数符号先正后负，根为极大值；导函数符号先负后正，根为极小值．

（Ⅰ）∵函数y=f（x）的图象关于点（0，4）对称，
∴f（x）+f（-x）=8，
令x=1，得[1/3+a−
1
3+a+4+4＝8，a＝0．（3分）
（Ⅱ）f(x)＝
1
3x3−4x+4，f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），（4分）
令f′（x）=0，得x=-2，x=2，
当x＜-2或x＞2时，f′（x）＞0；
当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，（6分）

x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗
28
3] ↘ −
4
3 ↗（8分）
∴当x=-2时，f（x）有极大值，为f(−2)＝
28
3；
当x=2时，f（x）有极小值f(2)＝−
4
3．（10分）
（Ⅲ）∵f（0）=4，f（3）=1，
由（2）知f（x）在[0，3]上最大值是4，最小值是−
4
3．（12分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查函数的极值和最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

f（x）=-x³+ax²-x-1的导数为f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+2ax-1≤0恒成立，∴△=4a²-12≤0，解得-
3≤a≤
3
∴实数a的取值范围是[−
3，
3]
故答案为[−
3，
3]

点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．

（Ⅰ）∵f（x）=[1/3]x³+ax²-bx（a，b∈R），∴f′（x）=x²+2ax-b；
又∵y=f（x）图象上的点（1，-[11/3]）处的切线斜率为-4，∴f′（1）=-4，即1+2a-b=-4①；
∵点（1，-[11/3]）在f（x）图象上，∴[1/3]+a-b=-[11/3]，即a-b+4=0②；
由①、②解得

a＝−1
b＝3；
（Ⅱ）由（1）得f（x）=[1/3]x³-x²-3x，∴f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）；
令f′（x）=0，解得x=-1或x=3；列表如下，

x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴y=f（x）的极大值为f（x）_极大值=f（-1）=[5/3]，极小值为f（x）_极小值=f（3）=-9．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了利用导数求曲线上某点切线方程的斜率与研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的极值问题，是中档题．

∵f′（x）=x²+2ax+（a²-1），
∴导函数f′（x）的图象开口向上．
又∵a≠0，
∴f（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称
其图象必为第三张图．由图象特征知f′（0）=0，
且对称轴-a＞0，
∴a=-1．
故答案为f（-1）=-[1/3]-1+1=-[1/3]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导函数的运算法则、二次函数的图象与二次函数系数的关系：开口方向与二次项系数的符号有关、
对称轴公式．

函数的导数为y′=f′（x）=3x²+2ax，
∵曲线在点P（-1，b）处的切线平行于直线3x+y=0，
∴曲线在点P处的切线斜率k=-3，
即k=f′（-1）=3-2a=-3，
解得a=3，此时f（x）=x³+3x²，此时b=f（-1）=-1+3=2，
即切点P（-1，2），
则切线方程为y-2=-3（x+1），
即3x+y+1=0
故选：B

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查函数的切线方程以及直线平行的斜率关系，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．

函数的导数为y′=3x²+2ax=0，解得x=0或x=−
2
3a，
当x=0时，函数值y=0，即-[4/3]a=0，此时a=0，
当x=−
2
3a时，函数值y=0，即（−
2
3a）³+a（−
2
3a）²-[4/3]a=0，
整理得a³-9a=0，即a（a²-9），
解得a=0或a=±3，
故选：C

点评：
本题考点： 导数的运算．

考点点评： 本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握函数的导数公式．

（1）f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1）
令f′（x）=0，得x=1，或x＝−
2a+3
3，
使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，
则−
2a+3
3＞1，解得：a＜-3．（6分）
（2）由题意知，即使x∈[-1，1]时，（f（x））_min＞0．
①当−
2a+3
3≥1，即a≤-3时，f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
∴（f（x））_min=f（-1）=a²+3a+2＞0，得a＞-1或a＜-2，
由此得：a≤-3；
②当−1＜−
2a+3
3＜1，即-3＜a＜0，f（x）在[−1，−
2a+3
3]为增函数，在[−
2a+3
3，1]上为减函数，
所以（f（x））_min=min{f（-1），f（1）}，
得

f(−1)＝a2+3a+2＞0
f(1)＝a2−a−2＞0⇒a＞2或a＜-2
由此得-3＜a＜-2；
③当−
2a+3
3≤−1，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，所以（f（x））_min=f（1）=a²-a-2＞0
得a＞2或a＜-1，由此得a＞2；
由①②③得实数a的取值范围为a＞2或a＜-2．（15分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查函数恒成立问题和已知函数极值点求参数的范围，求参数范围，注意用函数的思想，以及讨论的思想，化难为易，此题综合性较强．

f（x）=-x³+ax²-x-1的导数为f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+2ax-1≤0恒成立，∴△=4a²-12≤0，解得-
3≤a≤
3
∴实数a的取值范围是[−
3，
3]
故答案为[−
3，
3]

点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．

若f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1既有极大值又有极小值，
则f′（x）=3x²+2ax+（a+6）=0有两个不等的实根
即△=（2a）²-12（a+6）＞0
解得a＜-3或a＞6
故选D

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件及一元二次方程根的个数判断，其中由已知分析出f′（x）=0有两个不等的实根，是解答的关键．

（1）f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1）
令f′（x）=0，得x=1，或x＝−
2a+3
3，
使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，
则−
2a+3
3＞1，解得：a＜-3．（6分）
（2）由题意知，即使x∈[-1，1]时，（f（x））_min＞0．
①当−
2a+3
3≥1，即a≤-3时，f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
∴（f（x））_min=f（-1）=a²+3a+2＞0，得a＞-1或a＜-2，
由此得：a≤-3；
②当−1＜−
2a+3
3＜1，即-3＜a＜0，f（x）在[−1，−
2a+3
3]为增函数，在[−
2a+3
3，1]上为减函数，
所以（f（x））_min=min{f（-1），f（1）}，
得

f(−1)＝a2+3a+2＞0
f(1)＝a2−a−2＞0⇒a＞2或a＜-2
由此得-3＜a＜-2；
③当−
2a+3
3≤−1，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，所以（f（x））_min=f（1）=a²-a-2＞0
得a＞2或a＜-1，由此得a＞2；
由①②③得实数a的取值范围为a＞2或a＜-2．（15分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查函数恒成立问题和已知函数极值点求参数的范围，求参数范围，注意用函数的思想，以及讨论的思想，化难为易，此题综合性较强．

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x³+2x²-4x+c，则f^′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），由f′(x)＞0，得x＜−2或x＞
2
3，由f′(x)＜0， 得−2＜x＜
2
3，故f（x）增区间为(−∞，−2)，(
2
3，+∞)，减区间为(−2，
2
3)，函数的极小值为f(
2
3)＝−
40
27+c＝
23
27，
∴c=[7/3]．
（Ⅱ）由于y=f（|x|）为偶函数，要使x∈[-2，2]时时f（|x|）≥c-5恒成立，只需当x∈[0，2]时f（x）≥c-5
而当x∈[0，2]时，f^′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），当0＜x＜
2
3时，f（x）在[0，
a
3]上为减函数，在[
a
3，2]上为增函数，故知f（x）在[0，2]上的最小值为f(
a
3)
则有

f(
a
3)≥c−5
0＜
a
3＜2∴0＜a≤3
当
a
3≥2时，f（x）在[0，2]上为减函数，∴f（x）在[0，2]上的最小值为f（2）
则有

f(2)≥c−5
0＜

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了函数极值，函数在闭区间上的最值的求法，同时综合运用了函数的性质，解答不等式恒成立时体现了分类讨论的思想．

证明：∵f（x）=x³+ax²-2x+5，
∴f′（x）=3x²+2ax-2，
若f（x）在（-2，[1/6]）上单调递减，则f′（-2）≤0，f′（[1/6]）≤0，
∴12-4a-2≤0，[1/12]+[a/3]-2≤0，
∴[5/2]≤a≤[23/4]，
即当[5/2]≤a≤[23/4]时，f（x）在（-2，[1/6]）上单调递减．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题．