求f(x)=x^2sin1/x x不等于0 0

不存在.
一楼的解说,半对半错.具体解说如下：
df/dx = 2xsin(1/x) - cos(1/x)
当x趋向于0时,xsin(1/x)中的sin(1/x)确实如一楼所说是在正负1之间波动的,
但是x本身却趋向于0,是一个无穷小乘以一个有界函数,结果仍然是无穷小.
就2xsin(1/x)来说,左极限、右极限都存在,并且相等,等于0.
而对于2xsin(1/x) - cos(1/x)的第二部分,cos(1/x),是在正负1之间波动的,
左右极限都不存在.所以,整体而言,2xsin(1/x) - cos(1/x)的极限不存在.

不要本末倒置了。论及导数，必须先确定一个基点a，然后考查自变量与函数在这点附近的变化。在许多问题中，一定范围内的每一点都可以当作基点来考虑，所以为了方便，才直接用记号x表示基点a。你翻下课本仔细看看，基本初等函数的求导和求导公式哪个不是定了一个基点来讨论的，只不过那个基点用x来表示罢了。如果函数在一个开区间的任一点x都可导，此时f'(x)就是一个确定的值。这样就得到一个定义在这区间上的函数，称为是f的导函数。换句话说，导函数在x点的函数值必等于原来的函数在x点的导数值。说了这么多，就你那个题而言，之所以在x=0处要用定义计算，是因为根本就没有现成的公式可用，而不是什么导函数连不连续！先有的导数才有的导函数，一般来说，这种有分界点的函数，该点的导数我们只有用定义先算出，再把其它点的导数算出，才得到一个导函数。这道题你可以验证出它的导函数在x=0处是不连续的。但我们在没有用定义得到这个点的导数时，导函数在这点上根本就还没有（或者说根据你现有的知识无法）定义，又何谈连续性呢？谁因谁果请楼主细心体会。不过等你以后学习了导数极限定理，那么只要f在x=0处连续，再求出在除去点x=0的导函数，如果这个导函数当x趋于0时的极限存在，那么这个极限值就等于f'(0)，进而导函数在x=0连续。