4^27+16^500+4^n是一个完全平方数,则最大的自然数n为多少

4^27+16^500+4^n
=(2^27)^2+2*2^1999+(2^n)^2
完全平方数
2^(27+n)=2^1999
27+n=1999
n=1972

4^27+16^500+4^n
＝2^54+2^2000＋2^(2n)
可见，2^(2n)只能作为交叉项，不能作为平方项因为2^2000＝2*2^1999而1999是奇数，
因此2^(2n)=2*2^(2n-1)
2n-1=27+1000
因此，n=514