求x2+y2=a2绕直线x=a旋转体的体积

将点P置于第一象限．
设F₁是双曲线的右焦点，连接PF₁
∵M、O分别为FP、FF₁的中点，∴|MO|=[1/2]|PF₁|．
又由双曲线定义得，
|PF|-|PF₁|=2a，
|FT|=
|OF|2−|OT|2=b．
故|MO|-|MT|
=[1/2|PF1|-|MF|+|FT|
=
1
2]（|PF₁|-|PF|）+|FT|
=b-a．
故选C．

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

由题意得 F（c，0 ），由切点为M为线段FP的中点可知，FPO为等腰直角三角形，
∴点P（0，c ），由中点公式得M（[c/2]，[c/2]），把M（[c/2]，[c/2]）代入圆的方程得
c2
4+
c2
4＝a2，
∴[c/a]=
2，
故答案为：
2．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；中点坐标公式；圆的切线方程．

考点点评： 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断FPO为等腰直角三角形是解题的关键．

由于P=x³-x²y，Q=xy²-y³，且Py＝−x2，Qx＝y2
设L所围成的区域为D，则由格林公式，得

∮ L（x³-x²y）dx+（xy²-y³）dy=−
∫∫
D(x2+y2)dxdy
=−
∫2π0dθ
∫a0r2•rdr=−
πa4
2
故选；A

点评：
本题考点： 格林公式及其应用．

考点点评： 此题考查格林公式的使用和二重积分的计算，都是基础知识点．同时，也要注意曲线的方向．

（Ⅰ）设P（x₀，y₀），M（x，y），由

x＝x0
y＝
1
2y0，得

x0＝x
y0＝2y，…（2分）
代入x²+y²=a²，得
x2
a2+
y2

a2
4＝1．…（4分）
（Ⅱ）①当l斜率不存在时，设x=t，由已知得-a＜t＜a，
由

x2+4y2＝a2
x＝t，得y2＝
a2−t

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评： 本题考查代入法求轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．

由于L为圆周x²+y²=a²，因此
∮_L（x²+y²）ds=a2
∮
Lds=a²•2πa=2πa³

点评：
本题考点： 第一类曲线积分的性质．

考点点评： 此题考查第一类曲线积分的计算和性质的使用，没必要直接计算．

设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
∵抛物线为y²=4cx，
∴F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，
∵

OE＝
1
2(

OF+

OP)
∴E为FP的中点
∴OE为△PFF'的中位线，
∵O为FF'的中点
∴OE∥PF'
∵|OE|=a
∴|PF'|=2a
∵PF切圆O于E
∴OE⊥PF
∴PF'⊥PF，
∵|FF'|=2c
∴|PF|=2b
设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a-c
过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²
∴4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
∴e²-e-1=0
∵e＞1
∴e=

5+1
2．
故选B．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

∵OM⊥PF，且FM=PM
∴OP=OF，
∴∠OFP=45°
∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•

2
2
∴e=[c/a]=
2
故选A

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．

设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
因为抛物线为y²=4cx，
所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点，
E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，
那么OE∥PF'
因为OE=a 那么PF'=2a
又PF'⊥PF，FF'=2c 所以PF=2b
设P（x，y） x+c=2a x=2a-c
过点F作x轴的垂线，
点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²
4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e=

5+1
2．
故答案为：

5+1
2．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本小题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

根据题意可知圆的半径为椭圆的半焦距，
∴圆在椭圆内部，
∴b＞c，b²＞c²，
∴a²＞2c²_，
∵a＞0，c＞0
∴0＜e=
c
a＜

2
2，
故选D．

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的简单性质和椭圆与圆的关系．考查了学生综合分析问题的能力和数形结合思想的运用．

（1）设P（x，y），
∵圆O：x²+y²=a²，
∴设M（acosθ，asinθ），
∴|OP|=|MN|=|asinθ|，
则

x＝|asinθ|cosθ
y＝|asinθ|sinθ，θ∈[0，2π），
不妨设a＞0，
当θ∈[0，π]时，

x＝asinθcosθ
y＝asin2θ，消掉参数θ得x²+y²-ay=0（y≥0）；
当θ∈（0，2π）时，

x＝−asinθcosθ
y＝−asin2θ，消掉参数θ得x²+y²+ay=0（y＜0）．
∴点P的轨迹方程为x²+y²-ay=0（y≥0），x²+y²+ay=0（y＜0）．

点评：
本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题考查了轨迹方程的求法，考查了圆的参数方程，解答此题的关键是想到利用圆的参数方程求解，是中档题．

设右焦点为F₂，|PF|-|PF₂|=2a，
连接PF₂，OM为中位线，所以|PF₂|=2|OM|
|PF|=2|MF|=2（|TF|+|MT|）
|OF|=c，|OT|=a，所以|FT|=b
∴2（b+|MT|）-2|OM|=2a
∴b+|MT|-|OM|=a
∴|OM|-|MT|=b-a．
故选A．

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意圆的方程和性质的合理运用．

由题意，圆C₂必过椭圆C₁的两个焦点，所以∠F1PF2＝
π
2，2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁₌[π/3]，则PF2＝c，PF1＝
3c，所以椭圆C₁的离心率为
3−1，
故答案为：
3−1．

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 认真审题，挖掘题意是解题的关键，本题解答的关键是将条件转化为圆C2必过椭圆C1的两个焦点，从而寻找的a，c关系，求出离心率．

∫∫

dS

由题意，曲面与柱面的交线在xoy面的投影为x²+y²=a²所
设所截的曲面为∑，则∑在xoy面的投影为
D={（x，y）|x²+y²≤a²}
∴所求曲面的面积为A＝
∫∫
dS=
∫∫
D
1+zx2+zy2dxdy
=
∫∫
D
1+
y2
a2+
x2
a2dxdy=
1
a
∫2π0dθ
∫a0
a2+r2rdr
=[π/a[
2
3(a2+r2)
3
2]
]a0=(2
2−1)πa2

点评：
本题考点： 曲面面积的计算．

考点点评： 此题考查曲面面积的计算，首先要将其转化为第一类曲面积分，然后就是要熟悉其计算方法．

∵|OF|=c，|OE|=a，∴|EF|=b，
∵

OE＝
1
2(

OF+

OP)，∴|PF|=2b，|PF'|=2a，
∵|PF|-|PF'|=2a，∴b=2a，∴e＝
1+
b2
a2＝
5．
故选A．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；中点坐标公式．

考点点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

由题意可得：双曲线的方程为
x2
a2−
y2
b2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y=±
b
ax．

因为若∠ACB=120°，
所以根据图象的特征可得：∠AFO=30°，
所以c=2a，
又因为b²=c²-a²，
所以
b
a＝
3，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±
3x．
故选A．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线与圆的位置关系，结合有关条件得到a、b与c的关系，进而得到答案．

（1）设P（x，y），
∵圆O：x²+y²=a²，
∴设M（acosθ，asinθ），
∴|OP|=|MN|=|asinθ|，
则

x＝|asinθ|cosθ
y＝|asinθ|sinθ，θ∈[0，2π），
不妨设a＞0，
当θ∈[0，π]时，

x＝asinθcosθ
y＝asin2θ，消掉参数θ得x²+y²-ay=0（y≥0）；
当θ∈（0，2π）时，

x＝−asinθcosθ
y＝−asin2θ，消掉参数θ得x²+y²+ay=0（y＜0）．
∴点P的轨迹方程为x²+y²-ay=0（y≥0），x²+y²+ay=0（y＜0）．

点评：
本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题考查了轨迹方程的求法，考查了圆的参数方程，解答此题的关键是想到利用圆的参数方程求解，是中档题．

设P₁（x₀，y₀），则P₂（x₀，-y₀），则直线AP₁的方程为：y=
y0
x0+a（x+a） ①
直线BP₂的方程为：y=
y0
a−x0（x-a） ②
①×②得
y²=
y02
a2−x02（x²-a²） ③
又∵P₁（x₀，y₀）在圆上，
∴x₀²+y₀²=a²即a²-x₀²=y₀²
所以③式可化为：y²=（x²-a²）=x²-a²
即x²-y²=a²，这就是P点的轨迹方程．
故应选D．

点评：
本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题考查求两直线交点的轨迹方程，在设出两个直线的方程联立求交点满足的方程时，用两式相乘的方法构造出可以整体消元得到点P的坐标满足方程的形式，消元的技巧较强，答题者应细心体会．

设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
因为抛物线为y²=4cx，
所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点，
E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，
那么OE∥PF'
因为OE=a 那么PF'=2a
又PF'⊥PF，FF'=2c 所以PF=2b
设P（x，y） x+c=2a x=2a-c
过点F作x轴的垂线，
点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²
4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e=

5+1
2．
故答案为：

5+1
2．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本小题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

设直线FA的方程为：y=k（x+c），∵直线FA与x²+y²=a²相切，
∴a=
|ck|

1+k2，
∴a²+a²k²=c²k²，
∴b²k²=a²，又k＞0，
∴k=[a/b]，
∵切线与右支有交点A，则切线AF的斜率小于渐近线y=[b/a]x的斜率[b/a]，
即[a/b]＜[b/a]，
∴a²＜b²，又b²=c²-a²，
∴c²＞2a²．
∴e²=
c2
a2＞2，
∴e＞
2．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的简单性质，分析出切线AF的斜率小于渐近线y=[b/a]x的斜率[b/a]是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．