f(x)=ax+1/x+2 (-2,正无穷大)增函数,反比例函数解释

f（x）=[ax+1/x+2]=
a(x+2)+1−2a
x+2=a+[1−2a/x+2]，
∵f（x）=[ax+1/x+2]在x∈（-2，+∞）上单调递减，
∴1-2a＞0，解得a＜[1/2]，即实数a的取值范围是（-∞，[1/2]），
故选C．

点评：
本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 该题考查函数的单调性及其应用，属基础题，熟练掌握常见基本初等函数的单调性可简化求解过程．

∵f（x）=[ax+1/x+2]（a为常数），
而[ax+1/x+2＝
a(x+2)−2a+1
x+2＝a+
−2a+1
x+2]
∵f（x）在（-2，2）内为增函数
而x+2为增函数，[1/x+2]为减函数
∴要使f（x）在（-2，2）内为增函数
∴-2a+1＜0
解得：a＞[1/2]
故答案为：C

点评：
本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数单调性的应用，通过对函数的分析，判断各部分的单调性，属于中档题．

f′（x）=
a(x+2)−(ax+1)
(x+2)2=[2a−1
(x+2)2，
因为f（x）在（-2，+∞）上是增函数，
所以f′（x）≥0恒成立，即2a-1≥0，解得a≥
1/2]，
又当a=[1/2]时，f（x）=[1/2]不单调，
故实数a的取值范围是a＞[1/2]，
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调性及导数与函数单调性的关系，考查转化思想，本题易忽略检验a=[1/2]的情形

f′（x）=
a(x+2)−(ax+1)
(x+2)2=[2a−1
(x+2)2，
因为f（x）在（-2，+∞）上是增函数，
所以f′（x）≥0恒成立，即2a-1≥0，解得a≥
1/2]，
又当a=[1/2]时，f（x）=[1/2]不单调，
故实数a的取值范围是a＞[1/2]，
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调性及导数与函数单调性的关系，考查转化思想，本题易忽略检验a=[1/2]的情形

∵当a=0时，f（x）=[1/x+2]在区间（-2，+∞）上单调递减，故a=0舍去，
∴a≠0，此时f（x）=[ax+1/x+2]=
a(x+2)+1− 2a
x+2=a+[1−2a/x+2]，
又因为y=[1/x+2]在区间（-2，+∞）上单调递减，
而函数f（x）=[ax+1/x+2]在区间（-2，+∞）上单调递增，
∴须有1-2a＜0，即a＞[1/2]，
故选 B．

点评：
本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查分离常数法的应用，分离常数法一般用于求值域，求单调区间，及判断单调性．

（1）当a=1时，f(x)＝x+1x+2，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．下面证明：设-2＜x1＜x2，则f(x1)−f(x2)＝x1+1x1+2−x2+1x2+2=x1−x2(x1+2)(x2+2)∵-2＜x1＜x2∴x1-x2＜0，x1+2＞0，x2+2＞0，∴f（x1）-f（x2）...

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考察函数单调性的定义，主要是第二问关于a的不等式的获得．

∵f（x）=[ax+1/x+2]=
a(x+2)+1−2a
x+2＝a+
1−2a
x+2，
∴要使函数f（x）在x∈[-1，+∞）上递减，
则1-2a＞0，此时a＜
1
2，
要使f（x）不恒为负，
即f（x）=[ax+1/x+2]≥0在∈[-1，+∞）有解，
当a=0时，f（x）=[ax+1/x+2]=[1/x+2]，此时f（0）=
1
2＞0，
满足f（x）不恒为负，
∴当a=0时，满足条件．

点评：
本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查分式函数的图象和性质，利用分子常数化是解决分式函数问题的基本方法．

∵f（x）=[ax+1/x+2]=
a(x+2)+1−2a
x+2＝a+
1−2a
x+2，
∴要使函数f（x）在x∈[-1，+∞）上递减，
则1-2a＞0，此时a＜
1
2，
要使f（x）不恒为负，
即f（x）=[ax+1/x+2]≥0在∈[-1，+∞）有解，
当a=0时，f（x）=[ax+1/x+2]=[1/x+2]，此时f（0）=
1
2＞0，
满足f（x）不恒为负，
∴当a=0时，满足条件．

点评：
本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查分式函数的图象和性质，利用分子常数化是解决分式函数问题的基本方法．

∵f（x）=[ax+1/x+2]=
a(x+2)+1−2a
x+2＝a+
1−2a
x+2，
∴要使函数f（x）在x∈[-1，+∞）上递减，
则1-2a＞0，此时a＜
1
2，
要使f（x）不恒为负，
即f（x）=[ax+1/x+2]≥0在∈[-1，+∞）有解，
当a=0时，f（x）=[ax+1/x+2]=[1/x+2]，此时f（0）=
1
2＞0，
满足f（x）不恒为负，
∴当a=0时，满足条件．

点评：
本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查分式函数的图象和性质，利用分子常数化是解决分式函数问题的基本方法．

（1）当a=1时，f(x)＝
x+1
x+2，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
下面证明：
设-2＜x₁＜x₂，
则f(x1)−f(x2)＝
x1+1
x1+2−
x2+1
x2+2=
x1−x2
(x1+2)(x2+2)
∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
（2）设-2＜x₁＜x₂，
因为函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增，
所以有f(x1)−f(x2)＝
ax1+1
x1+2−
ax2+1
x2+2=
(2a−1)(x1−x2)
(x1+2)(x2+2)＜0，
∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
所以2a−1＞0，即a＞
1
2，
所以实数a的取值范围是(
1
2，+∞)．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考察函数单调性的定义，主要是第二问关于a的不等式的获得．

f′（x）=
a(x+2)−(ax+1)
(x+2)2=[2a−1
(x+2)2，
因为f（x）在（-2，+∞）上是增函数，
所以f′（x）≥0恒成立，即2a-1≥0，解得a≥
1/2]，
又当a=[1/2]时，f（x）=[1/2]不单调，
故实数a的取值范围是a＞[1/2]，
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调性及导数与函数单调性的关系，考查转化思想，本题易忽略检验a=[1/2]的情形

f′（x）=
a(x+2)−(ax+1)
(x+2)2=[2a−1
(x+2)2，
因为f（x）在（-2，+∞）上是增函数，
所以f′（x）≥0恒成立，即2a-1≥0，解得a≥
1/2]，
又当a=[1/2]时，f（x）=[1/2]不单调，
故实数a的取值范围是a＞[1/2]，
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调性及导数与函数单调性的关系，考查转化思想，本题易忽略检验a=[1/2]的情形

f′（x）=
a(x+2)−(ax+1)
(x+2)2=[2a−1
(x+2)2，
因为f（x）在（-2，+∞）上是增函数，
所以f′（x）≥0恒成立，即2a-1≥0，解得a≥
1/2]，
又当a=[1/2]时，f（x）=[1/2]不单调，
故实数a的取值范围是a＞[1/2]，
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调性及导数与函数单调性的关系，考查转化思想，本题易忽略检验a=[1/2]的情形

f′（x）=
a(x+2)−(ax+1)
(x+2)2=[2a−1
(x+2)2，
因为f（x）在（-2，+∞）上是增函数，
所以f′（x）≥0恒成立，即2a-1≥0，解得a≥
1/2]，
又当a=[1/2]时，f（x）=[1/2]不单调，
故实数a的取值范围是a＞[1/2]，
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调性及导数与函数单调性的关系，考查转化思想，本题易忽略检验a=[1/2]的情形

f′（x）=
a(x+2)−(ax+1)
(x+2)2=[2a−1
(x+2)2，
因为f（x）在（-2，+∞）上是增函数，
所以f′（x）≥0恒成立，即2a-1≥0，解得a≥
1/2]，
又当a=[1/2]时，f（x）=[1/2]不单调，
故实数a的取值范围是a＞[1/2]，
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调性及导数与函数单调性的关系，考查转化思想，本题易忽略检验a=[1/2]的情形

f′（x）=
a(x+2)−(ax+1)
(x+2)2=[2a−1
(x+2)2，
因为f（x）在（-2，+∞）上是增函数，
所以f′（x）≥0恒成立，即2a-1≥0，解得a≥
1/2]，
又当a=[1/2]时，f（x）=[1/2]不单调，
故实数a的取值范围是a＞[1/2]，
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调性及导数与函数单调性的关系，考查转化思想，本题易忽略检验a=[1/2]的情形