无穷数列An满足an乘an+1等于二分之一的n次方,a1等于1.问求其通项.

由题可知,∑an*x^n的收敛区间为(-1,1),当x=-1时,∑an*(-1)^n是收敛的,因为,an单调递减趋于0,且是交替级数,所以收敛；当x=1时,∑an发散,所以∑an*x^n的收敛域为[-1,1)
原题要求∑an*(x-√2)^n的收敛域,可以令(x-√2)∈[-1,1),得收敛域为[√2-1,√2+1),

1 = a(n) + s(n),
1 = a(1) + s(1) = 2a(1),a(1)=1/2,
1 = a(n+1) + s(n+1),
0 = 1 - 1 = [a(n+1)+s(n+1)] - [a(n)+s(n)] = a(n+1)-a(n) + [s(n+1)-s(n)] = 2a(n+1) - a(n),
a(n+1) = a(n)/2,
{a(n)}是首项为a(1)=1/2,公比为1/2 的等比数列.
a(n) = (1/2)(1/2)^(n-1) = (1/2)^n = 1/2^n

您肯定理解不当.
书上应该是先举一个数列极限的特例,便于初学者理解和接受,然后在引入一般化的定义.所以才会接着说“一般地……”,其实是从讨论特殊情况到讨论一般情况的过程,这是逻辑学上的“归纳法”(相对于“演绎法”而言的).这里说的“一般”是相对于之前的“特殊”而言的,而并不是强调“还有其它不符合的反例存在”这一点.这里也许用词是有些歧义,不过很多人都不会在“一般”二字上太咬文嚼字.
这是形象的说法：在n无限增大的变化过程中,如果无穷数列a[n]中的a[n]无限趋近于一个常数A,那么A是a[n]极限.
你们应该学了数列/序列极限的严格定义,即所谓的“ε-N”语言.您对比一下严格的定义,就可以知道,在上面形象的说法中,您对“一般”这两个字的疑虑是不必要的.
不知道您看的是什么版本的教材,非数学专业的数学分析著作一般写得很含糊,定理的证明能省则省,但是浅显易懂.有业余数学兴趣的,推荐去图书馆找权威的教材《托马斯微积分》看看,相对于同是世界名著的《微积分学教程》,这本书比较生动有趣(讲得非常深入,但时间精力或兴趣不够的不推荐).

你好，请采纳！
这道题有巧法解的。
（一）a(n)^2=2[a(n)-a(n-1)]
因为a(n)^2恒大于等于0，所以a(n)大于等于a(n-1)。
若a(n)=a(n-1)，a(n)=0，不符合题意，所以a(n)>a(n-1)，单调递增。
（二）（1）[a(n)-1]^2=1-2a(n-1)，恒大于等于0，a(n-1)小于等于1/2，即a(n)小于等于1/2，若a(n-1)=1/2，a(n)=1，不符合a(n)小于等于1/2，所以a(n)a(n)，1/[2-a(1)]-1/(an)

特征方程为：
　　X^2=X+1
　　解得
　　X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.
　　则a(n)=C1*X1^n + C2*X2^n.
　　∵a(1)=a(2)=1.
　　∴C1*X1 + C2*X2=1.
　　C1*X1^2 + C2*X2^2=1.
　　解得C1=√5/5,C2=-√5/5.
　　∴a(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）.

lim(n->∞)(1+2+2^2+……+2^(n-1))/(1-m*2^(n-1))=m-3lim(n->∞) (2^n-1)/(1-m*2^(n-1))=m-3lim(n->∞) (1-1/2^n)/(1/2^n-m/2)=m-3-2m=m-3m=1a(n+1)=m(an-1)+2 = an +1a(n+1)-an =1an -a1=n-1an = n a1...

A(n+1) = √3*An + 2
A(n+1) + c = √3*An + 2 + c = √3 * [An + (2+c)/√3 ]
令 c = (2+c)/√3,则 c = 2/(√3 -1) = √3 + 1
所以有：
A(n+1) + √3 + 1 = √3 (An + √3 + 1)
可见,｛An+√3+1｝就是一个等比数列,因此有：
An+√3+1 = (A1 + √3 + 1) * (√3)^(n-1) = (√3+2) * (√3)^(n-1)
所以,An = (√3+2)*(√3)^(n-1) - √3 - 1
limAn 为无穷大.

题意：an+an+1=2bn; (1)
bnbn+1=an+1*an+1 (2)
（2）式两边开方得：an+1=sqrt(bn)*sqrt(bn+1) (3)
(1)式两边平方,展开,然后将（3）式代入,可得：
bn*bn-1+bn*bn+1+2*sqrt(bn-1*bn*bn*bn+1)=4bn*bn (4)
整理（4）式后可得
sqrt(bn-1)+sqrt(bn+1)=2sqrt(bn)

这个等比数列的公比的绝对值小于1
这个数列的极限为0

不可能,用反证法证明如下：
假设lim(an+bn)存在,
由于liman存在
bn=(an+bn)-an
所以,limbn=lim[(an+bn)-an]存在
与题设矛盾,
所以假设错误,于是lim(an+bn)不存在

根据极限运算法则
limf(x)=A,limg(x)=B
则lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B
所以lim(an+bn)=liman+limbn
liman存在,limbn不存在,所以liman+limbn不存在.所以没有这样的无穷数列

这个代值验证,它应该是循环的.