已知函数f(x)＝1+lnxx（1）若函数f（x）在区间(a2，a+12)上存在极值，其中a＞0，求实数a的取值范围．（

解题思路：（1）利用导数求出函数f（x）的极值点，设为x₀，则x0∈(

a

2

，a+

1

2

)，由此可得a的范围；
（2）写出g（x）的表达式，利用导数求出g（x）在（0，1]上的最大值，使其等于[1/2]，即可求得b值；

（1）∵函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝−
lnx
x2，
令f′(x)＝−
lnx
x2＝0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在x=1处取极大值，
因为f（x）在区间(
a
2，a+
1
2)上存在极值，所以[a/2＜1＜a+
1
2]，解得[1/2＜a＜2，
所以实数a的取值范围是（
1
2]，2）．
（2）g（x）=xf（x）+bx-1-ln（2-x）=bx+lnx-ln（2-x），
∵b＞0，当x∈（0，1]时，g′（x）=b+[2
x(2−x)＞0，
所以g（x）在（0，1]上单调递增，
故g（x）在（0，1]上的最大值为g（1）=b，
因此b＝
1/2]．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查应用导数研究函数的极值及求函数在闭区间上的最值问题，准确求导，熟知导数与函数极值、最值的关系是解决问题的基础．