若y=sin2x+2pcosx+q有最大值9和最小值3,求实数p,q的值.

kittychan11282022-10-04 11:39:541条回答

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小猫我今年十八 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%
解题思路:利用同角三角函数关系及换元法,可将函数y=sin2x+2pcosx+q的解析式化为y=-t2+2pt+q+1=-(t-p)2+p2+q+1,t∈[-1,1],进而根据二次函数在定区间上最值问题,结合函数的最大值9和最小值3,分类讨论,最后综合讨论结果,即可得到实数p,q的值.

y=sin2x+2pcosx+q=-cos2x+2pcosx+q+1…(2分)
令cosx=t,t∈[-1,1],则y=-t2+2pt+q+1=-(t-p)2+p2+q+1,y=-(t-p)2+p2+q+1的对称轴为t=p…(3分)
①当p<-1时,函数y在t∈[-1,1]为减函数ymax=y|t=-1=-2p+q=9,ymin=y|t=1=2p+q=3,解得:p=−
3
2,q=6…(5分)
②当p>1时,函数y在t∈[-1,1]为增函数ymin=y|t=-1=-2p+q=3,ymax=y|t=1=2p+q=9,p=
3
2,q=6…(7分)
③当-1≤p≤1时,ymax=y|t=p=p2+q+1=9
(i)当-1≤p≤0时,ymin=y|t=1=2p+q=3
解得:p=1±
6,与-1≤p≤0矛盾; …(9分)
(ii)当0<p≤1时,ymin=y|t=-1=-2p+q=3
解得:p=±
6−1,与0<p≤1矛盾.…(11分)
综合上述:p=−
3
2,q=6或p=
3
2,q=6.…(12分)

点评:
本题考点: 余弦函数的定义域和值域;二次函数在闭区间上的最值.

考点点评: 本题考查的知识点是余弦函数的值域,二次函数在闭区间上的最值,其中利用同角三角函数关系及换元法,将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题,是解答本题的关键.

1年前

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