圆幂定理、韦达定理各是什么?（知道一个也行,追分50!）

设直线PO与圆交于C、D两点
则PA*PB=PC*PD
所以PA*PB=(R+OP)(R-OP)=R²-PO²

1连接OP交AB与G则PG垂直于AB 利用勾股定理 AP^2-AG^2=PD^2-DG^2 再利用割线定理 AP^2=PE*PC,AD*DB=DE*CD 得PE*PC=PD^2+(AG-DG)*(AG+DG)=PD^2+AD*DB=PD^2+DE*CD
即 PE*(PD+CD)=PD^2+DE*CD 得 PE*CD=PD^2+DE*CD-PE*PD=PD*DE+DE*CD=DE*PC 得证
2 利用ADC和EDB；ADE和CDB相似可以推出DB/AD=BC/AC*EB/AE 再利用 PAE和PCA;PEB和PBC相似得 AE/AC=AP/PC; EB/BC=BP/PC 再利用 AP=BP 得 AE/AC=EB/BC 综合得结论
3实际上是1的等价变形；或者作OF垂直于PC于F 利用POF与PDG相似 且PF=1/2(PE+PC)
得 PF/PG=PO/PD 即 PF=PG*PO/PD=PA^2/PD=PE*PC/PD 即 2/PD=2PF/(PE*PC)=1/PE+1/PC

∵∠ADP = ∠CA'P (弦切角定理=Alternate Segment Theorem)
∴∠A'PD = ∠CPA' (公共角=Common Angle)
∴ΔPAD'∽ΔPCA' (三个对应角相等=AAA)
∴PA'/PD=PC/PA' (对应边成比例=Same Ratio for Corresponding Sides)
ie.PA'²=PC×PD
同理可证：(Similarly)
PA'²=PA×PB
∴PA×PB=PC×PD (等于同一个数的两数相等,Transive Law)
也就是连续两次运用切割线定理(Tangent Chord Theorem),就得到证明.

有应该还是有的,看来你也是数学爱好者.不过这个在椭圆里面的蝴蝶定理也不常用.一般知道椭圆里面基本的性质就可以了.

圆幂定理是对 相交弦定理 、 切割线定理 及 割线定理 （切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果.
圆幂定理
定义
圆幂 =PO^2-R^2（该结论为 欧拉公式 ）
所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零.
相交弦定理 ：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
切割线定理 ：从圆外一点引圆的 切线 和割线,切线长 是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项 .
割线定理 ：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D,则有 PA·PB=PC·PD.
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2,L1与圆交于A、B（可重合,即切线）,L2与圆交于C、D（可重合）,则有PA·PB=PC·PD.
证明
圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）1圆是定点的距离等于定长的点的集合
2圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
3圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
4同圆或等圆的半径相等
5到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半
径的圆
6和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直
平分线
7到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
8到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
9定理 不在同一直线上的三点确定一个圆.
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦
相等,所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它
的内对角
121①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积
相等
131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

正弦定理得PA/sinPBA=AB/sinAPB,PC/sinPBC=BC/sinBPC
∵PA=PC,sinPBA=sinPBC,∴AB/BC=sinAPB/sinBPC
角平分线定理得AR/RC=AQ/QC
又正弦定理得PQ/sinPAQ=AQ/sinAPB,PQ/sinPCQ=QC/sinBPC
∴AQ*sinPAQ/sinAPB=QC*sinPCQ/sinB...

这题有人以前做过了,很漂亮的证明

初中几何比较有用的就是塞瓦定理和蝴蝶定理,其他都可以依照已有知识推出,建议还是买奥数书本学习吧,而且平面几何几乎是奥数里面最难的部分,和概率并称谁都不一定能做出的……

过a点做圆的公切线.
连OA O‘A OB,O’C
角AO‘C=角AOB,都是两倍的弦切角.
两半径成比例,所以AO‘C相似AOB
OC平行OB,切线和两边分别垂直,所以平行.
外切差不多,不证了

圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称.
相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项.
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD.
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2,L1与圆交于A、B（可重合,即切线）,L2与圆交于C、D（可重合）,则有PA·PB=PC·PD.
进一步升华（推论）：
过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2,L1与圆交于A、B（可重合,即切线）,L2与圆交于C、D.则PA·PB=PC·PD.若圆半径为r,则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （一定要加绝对值,原因见下）为定值.这个值称为点P到圆O的幂.（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）
若点P在圆内,类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|
故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值.（这就是“圆幂”的由来）

一、相交弦定理：圆的两条弦AB,CD交于P,P在圆内.连接AC,BD可知∠BAC=∠BDC,∠ACD=∠ABD 所以△APC相似于△DPB,所以AP/DP=CP/BP即AP·BP=CP·DP 二、割线定理：圆的两条弦AB,CD交于P,P在圆外.连接AC,BD可知∠PAC=∠PDB,∠PCA=∠PBD 所以△APC相似于△DPB,所以AP/DP=CP/BP即AP·BP=CP·DP 三、切割线定理：PC切圆O于C,BA延长线交PC于P 连接CO并延长交圆O于D,连接DA 所以∠PCD=∠CAD=90度,∠D=∠B=∠ACP又∠ACP=∠CPB 所以△APC相似于△CPB,所以AP/CP=CP/BP即AP·BP=CP^2

look

有.其实圆幂定理本来就是判定四点共圆或切线的充要条件

圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称.相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD.统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2,L1与圆交于A、B（可重合,即切线）,L2与圆交于C、D（可重合）,则有PA·PB=PC·PD.进一步升华（推论）：过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2,L1与圆交于A、B（可重合,即切线）,L2与圆交于C、D.则PA·PB=PC·PD.若圆半径为r,则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （一定要加绝对值,原因见下）为定值.这个值称为点P到圆O的幂.（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P在圆内,类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值.（这就是“圆幂”的由来） 圆的方程通常表示为x^2+y^2=r^2 初中基本用不到!