曲线C1和C2的方程为F（x,y）=0和G（x,y）=0,设点M的坐标为(a,b)

∵曲线C₁的方程是kx-y+4-2k=0，
∴k（x-2）+4-y=0，表示过定点A（2，4）的直线，∴①正确．
∵C₂的方程是
4−x2+1-y=0，
∴
4−x2=y-1，（y≥1），
∴平方得x²+（y-1）²=4，表示以（0，1）为圆心，半径r=2的上半圆，∴②错误．
③当x=-2时，y=1，即B（-2，1），
此时过A，B直线的斜率k=[4−1
2−(−2)＝
3/4]，由图象可知当k∈(
3
4，+∞)时，C₁与C₂只有一个公共点，∴③正确．
④当k=0时，曲线C₁的方程是y=4，
此时曲线C₂的最大值为3，
∴则C₁与C₂无公共点，∴④正确．
故正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题主要考查直线与圆的方程以及直线与圆的位置关系的判断，利用数形结合是解决本题的关键．

（1）∵曲线C1的参数方程为x＝1+cosαy＝sinα（α为参数），∴C1的普通方程：（x-1）2+y2=1，…①∵C2：ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，即x2+（y-2）2=4，…②①-②可得，x-2y=0，∴曲线C1和C2公共弦所在直线的极坐标方...

点评：
本题考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

考点点评： 本题考查了参数方程转化为普通方程，以及参数方程的应用，本题难度不大，属于基础题．

曲线C₁的普通方程为 （x+1）²+y²=4，表示以（-1，0）为圆心、以2为半径的圆，
曲线C₂的普通方程为 x²+y²=4，
将两圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为2x+1=0，即x=-[1/2]，
故答案为x=-[1/2]．

点评：
本题考点： 参数方程化成普通方程；相交弦所在直线的方程；简单曲线的极坐标方程．

考点点评： 本题考查把曲线的参数方程或极坐标方程化为普通方程的方法，以及两圆的公共弦所在的直线方程的求法．

（Ⅰ）∵抛物线C₁：y²=8x的焦点为F₂（2，0），
∴双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），（1分）
设A（x₀，y₀）在抛物线C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，
由抛物线的定义得，x₀+2=5，∴x₀=3，（2分）
∴y₀²=8×3，∴y0＝±2
6，（3分）
∴|AF1|＝
(3+2)2+(±2
6)2＝7，（4分）
又∵点A在双曲线上，
由双曲线定义得，2a=|7-5|=2，∴a=1，（5分）
∴双曲线的方程为：x2−
y2
3＝1．（6分）
（Ⅱ）设圆M的方程为：（x+2）²+y²=r²，
双曲线的渐近线方程为：y＝±
3x，
∵圆M与渐近线y＝±
3x相切，∴
圆M的半径为d＝
2
3
2＝
3，（7分）
故圆M：（x+2）²+y²=3，（8分）
设点P（x₀，y₀），则l₁的方程为y-y₀=k（x-x₀），
即kx-y-kx₀+y₀=0，l₂的方程为y−y0＝−
1
k(x−x0)，
即x+ky-x₀-ky₀=0，
∴点M到直线l₁的距离为d1＝
|2k+kx0−y0|

1+k2，
点N到直线l₂的距离为d2＝
|x0+ky0−2|

1+k2，
∴直线l₁被圆M截得的弦长s＝2
3−(
2k+kx0−y0

1+k2)2，
直线l₂被圆N截得的弦长t＝2
1−(
x0+ky0−2

1+k2)2，（11分）
由题意可得，
s
t＝

3−
(2k+kx0−y0)2
1+k2

1−
(x0+ky0−2)2
1+k2＝
3，
即3（x₀+ky₀-2）²=（2k+kx₀-y₀）²，
∴
3x0+
3ky0−2
3＝2k+kx0−y0①
或
3x0+
3ky0−2

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．

曲线C₁的极坐标方程ρcosθ=3，即x=3；
曲线C₂的极坐标方程分别ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ＜
π
2），即ρ²=4ρcosθ，即 x²+y²=4x，即 （x-2）²+y²=4（y＞0）．
由

x＝3
(x−2)2+y2＝4，可得

x＝3
y＝
3，或

x＝3
y＝−
3（舍去），∴曲线C₁、C₂交点的坐标为（3，
3）．
设此交点的极坐标为（ρ，θ），则ρ=
9+3=2
3，且tanθ=

3
3，∴θ=
π
6，
故交点的极坐标为 （2
3，
π
6）．

点评：
本题考点： 简单曲线的极坐标方程．

考点点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于基础题．

（I）由题意知，曲线C₃向左平移1个单位得到曲线C₂，∴曲线C₂是函数y=log₂（x+1）的图象．…（2分）
曲线C₂与曲线C₁关于直线y=x对称，∴曲线C₂是函数y=log₂（x+1）的反函数的图象y=log₂（x+1）的反函数为y=2^x-1
∴f（x）=2^x-1…（4分）
（II）由题设：a_n=n×2ⁿ-n，n∈N^*S_n=（1×2¹-1）+（2×2²-2）+（3×2³-3）+…+（n•2ⁿ-n）=（1×2¹+2×2²+3×2
²+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）…（6分）=(1×21+2×22+3×22+…+n×2n)−
n(n+1)
2=(1×21+2×22+3×23+…+n×2n)−
n(n+1)
2①
2S_n=（1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹）-n（n+1）②
由②-①得，Sn＝−(21+22+23+…+2n)+n×2n+1−
n(n+1)
2
，=−
2−2n+1
1−2+n×2n+1−
n(n+1)
2=(n−1)×2n+1−
n2+n−4
2…（8分）
当t＝2，Sn−2an＝[(n−1)2n+1−
n2+n−4
2]−2(n×2n−n)=−[2n+1+
(n+1)(n−4)
2]S₁-2a₁=-1＜0，S₂-2a₂=-5＜0，S₃-2a₃=-14＜0
当n≥4时，Sn−2an＝−[2n+1+
(n+1)(n−4)
2]＜0∴当t=2时，对一切n∈N^*，S_n＜2a_n恒成立．
当0＜t＜2时，Sn−2an＝[(n−1)2n+1−
n2+n−4
2]−t(n×2n−n)=[(2−t)n−2]×2n−
n2+n
2+tn+2＞[(2−t)n−2]×2n−
n2+n
2
记M＝
3
2−t，则当

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；函数的图象与图象变化．

考点点评： 本题以函数的图象的平移变换为切入点，考查了互为反函数的函数解析式的求解，数列的求和的错位相减求和的应用，解答的难点在于试题的计算及逻辑推理

（Ⅰ）由题意可得，曲线C₂的参数方程为

x＝2cosθ
y＝
3sinθ，再消去参数θ可得
x2
4+
y2
3=1，即为所求的曲线C₂的普通方程．
（Ⅱ）由题意可得A（-2，0），设点P（2cosθ，
3sinθ），
则|PA|²-|PB|² =[（2cosθ+2）²+3sin²θ]-[（2cosθ-1）²+(
3sinθ−1)2]=3+12cosθ+2
3sinθ=3+2
39sin（θ+∅），
其中，sin∅=
6

点评：
本题考点： 参数方程化成普通方程；两点间的距离公式．

考点点评： 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于中档题．

联立

ρ＝4cosθ
ρcosθ＝3，又ρ≥0，0≤θ＜[π/2]，解得ρ=2
3，cosθ＝

3
2，∴θ＝
π
6．
∴曲线C₁、C₂交点的极坐标为(2
3，
π
6)．
故答案为：(2
3，
π
6)．

点评：
本题考点： 简单曲线的极坐标方程．

考点点评： 本题考查了曲线的极坐标方程下的交点问题，属于基础题．

将曲线C₁，C₂化为直角坐标方程得：C1：x+
3y+2＝0，表示一条直线．
曲线C2：x2+y2−2x−2y＝0，即C2：(x−1)2+(y−1)2＝2，表示一个圆，半径为
2．
圆心到直线的距离d＝
|1+
3+2|

12+(
3)2＝
3+
3
2＞
2，
∴曲线C₁与C₂相离．

点评：
本题考点： 参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系应用，
属于基础题．

曲线C₁的普通方程为x²+y²=5（0≤x≤
5），曲线C₂的普通方程为y=x-1
联立方程

x2+y2＝5
y＝x−1⇒x=2或x=-1（舍去），
则曲线C₁和C₂的交点坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．

点评：
本题考点： 参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化．

考点点评： 本题主要考查了直线与曲线方程的交点坐标的求解，解题的关键是要把参数方程化为普通方程．

（1）∵圆O：x2+y2=4上各点的纵坐标变为原来的一半 （横坐标不变），得到曲线C1，∴C1的方程为x2+（2y）2=4，整理，得：x24+y2=1．∵抛物线C2的焦点是直线y=x-1与x轴的交点（1，0），∴C2的方程为y2=4x．（4分...

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

由题意可知：点(0，
6)是椭圆C₁的短轴的一个端点，或点(−
2，0)是椭圆C₁的长轴的一个端点．以下分两种情况讨论：
①假设点(0，
6)是椭圆C₁的短轴的一个端点，则C₁可以写成
x2
a2+
y2
6＝1，经验证可得：若点(2
2，
2)在C₁上，代入求得a²=12，即
x2
12+
y2
6＝1，剩下的4个点中（-2，2）也在此椭圆上．
假设抛物线C₂的方程为y²=2px，把点(2，−2
2)代入求得p=2，∴y²=4x，则点(3，−2
3)，则只剩下一个点(−
2，0)既不在椭圆上，也不在抛物线上，满足条件．
假设抛物线C₂的方程为y²=-2px，经验证不符合题意．
②假设点(−
2，0)是椭圆C₁的长轴的一个端点，则C₁可以写成
x2
2+
y2
b2＝1，经验证不满足条件，应舍去．
综上可知：可推断椭圆C₁的方程为
x2
12+
y2
6＝1．
故答案为
x2
12+
y2
6＝1．

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 熟练掌握椭圆、抛物线的标准方程及其性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．

（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ²=[2/3+cos2θ]=[2
2cos2θ+2=
1
cos2θ+1，
即 （ρcosθ）²+ρ²=1，化为直角坐标方程为 2x²+y²=1．
（2）将曲线C₁上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的
1/2]倍后得曲线C₂．
在曲线C₂上任取一点（x，y），它在曲线C₁上的对应点（ m，n），
则由题意可得 x=2m，y=[n/2]，2m²+n²=1．
∴2×(
x
2)2+（2y）²=1，即
x2
2+4y²=1，故曲线C₂的参数方程为

x＝
2•cosθ
y＝
1
2•sinθ （θ为参数），
故可设点R（
2cosθ，[1/2]sinθ），点R到直线l：x+y-5=0的距离d=
|
2cosθ+

点评：
本题考点： 点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．

考点点评： 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，求出点P的坐标，是解题的难点，属于基础题．

（Ⅰ）曲线C₂：θ＝
π
4（p∈R）
表示直线y=x，
曲线C₁：P=6cosθ，即p²=6pcosθ
所以x²+y²=6x即（x-3）²+y²=9
（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离d＝
3
2
2，
r=3所以弦长AB=2
r2−d2=3
2．
∴弦AB的长度3
2．

点评：
本题考点： 简单曲线的极坐标方程．

考点点评： 本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．

（1）∵抛物线C1：y2＝8x的焦点为F2（2，0），∴双曲线C2的焦点为F1（-2，0）、F2（2，0），设A（x0，y0）在抛物线C1：y2＝8x上，且|AF2|=5，由抛物线的定义得，x0+2=5，∴x0=3，∴y20＝24，∴9a2−24b2＝1a2+b2＝4...

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．

（Ⅰ）设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1，
则2a=|AF₁|+|AF₂|=7+5=12，得a=6，…（2分）
设A（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），
则（x+c）²+y²=7²，（x-c）²+y²=5²，
两式相减得xc=6，由抛物线定义可知|AF₂|=x+c=5，
则c=2，x=3或x=2，c=3，
又∠AF₂F₁为钝角，则x=2，c=3舍去．…（4分）
所以椭圆方程为
x2
36+
y2
32＝1，抛物线方程为y²=8x．…（6分）
（Ⅱ）（1）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=2，从而|CD|=8，|BE|＝
32
3，
所以
|CD|
|BE|＝
3
4；…（9分）
（2）当直线l不垂直x轴时，设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
直线y=k（x-2），代入
x2
36+
y2
32＝1得：8(
y
k+2)2+9y2−288＝0，即（8+9k²）y²+32ky-256k²=0，
则y1+y2＝−
32k
8+9k2，y1y2＝−
256k2
8+9k2，
同理，将y=k（x-2）代入y²=8x得：ky²-8y-16k=0，
则y3+y4＝
8
k，y₃y₄=-16，
所以
|CD|•|HF2|
|BE|•|GF2|＝
|y3−y4|•
1
2|y1+y2|
|y1−y2|•
1
2|y3+y4|=

点评：
本题考点： 圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查了椭圆，抛物线与直线的位置关系，掌握设而不求思想的应用是关键．