若an+2SnSn-1=0,a1=0.5 (1)求证{1/Sn}是等差数列 (2)求an

由a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），得S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0（n≥2），
两边同除以S_n•S_n-1，得[1
Sn−1−
1
Sn+2＝0，即
1
Sn−
1
Sn−1＝2，
∴{
1
Sn}是以2为公差的等差数列，
又S₅=
1/11]，∴[1
S5＝
1
S1+4×2，即11=
1
a1+8，解得a1＝
1/3]．
故选C．

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 该题考查由数列递推式求数列通项、等差数列的通项公式，考查学生的推理论证能力．

（I）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
又a_n+2S_nS_n-1=0
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），
若S_n=0，则a_n=0，
∴a₁=0与a₁=[1/2]矛盾
∴S_n≠0，S_n-1≠0．
∴[1
Sn−1−
1
Sn+2=0即
1
Sn−
1
Sn−1=2，
又
1
S2−
1
S1=2．
∴{
1
Sn}是首项为2，公差为2的等差数列
由（I）知数列{
1
Sn}是等差数列．
∴
1
Sn=2+（n-1）•2=2n即S_n=
1/2n]
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=[1/2n−
1
2(n−1)＝−
1
2n(n−1)]，
又当n=1时，S₁=a₁=[1/2]，
∴a_n=


1
2，(n＝1)
−
1
2n(n−1)(n≥2)，
（Ⅱ）证明：由（I）知b_n=2（1-n）•[1
2n(1−n)＝
1/n]（n≥2）
∴b₂²+b₃²+…+b_n²=

点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查了等差数列和等比数列的基本公式以及数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．

（Ⅰ）数列{
1
Sn}是以2为首项，2为公差的等差数列．证明如下：
∵n≥2时，a_n+2S_nS_n-1=0，∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0
∴
1
Sn-
1
Sn−1=2
∵a1＝
1
2，∴
1
S1=2
∴数列{
1
Sn}是以2为首项，2为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
Sn=2+2（n-1）=2n，∴S_n=
1
2n；
∵n≥2时，a_n+2S_nS_n-1=0，
∴a_n=-2×
1
2n×
1
2(n−1)=
1
2n(1−n)
∴a_n=


1
2，n＝1

1
2n(1−n)，n≥2．

点评：
本题考点： 数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的求和与通项，正确运用数列递推式是关键．

： ∵a_n+2s_ns_n-1=0（n≥2），
∴s_n-s_n-1+2s_ns_n-1=0．两边除以2s_ns_n-1，并移向得出[1
Sn-
1
Sn-1=2(n≥2)，
∴{
1
Sn}是等差数列，公差d=2，

1
S1=
1
a1=2．
∴
1
Sn=2+2(n-1)=2n，故Sn=
1/2n]．
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
1
2n-
1
2(n-1)=-
1
2n(n-1)．
当n=1时，a₁=[1/2]不符合上式．
∴a_n=


1
2，(n=1)
-
1
2n(n-1)，(n≥2)．
故答案为：


1
2，(n=1)
-
1
2n(n-1)，(n≥2)．

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．

： ∵a_n+2s_ns_n-1=0（n≥2），
∴s_n-s_n-1+2s_ns_n-1=0．两边除以2s_ns_n-1，并移向得出[1
Sn-
1
Sn-1=2(n≥2)，
∴{
1
Sn}是等差数列，公差d=2，

1
S1=
1
a1=2．
∴
1
Sn=2+2(n-1)=2n，故Sn=
1/2n]．
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
1
2n-
1
2(n-1)=-
1
2n(n-1)．
当n=1时，a₁=[1/2]不符合上式．
∴a_n=


1
2，(n=1)
-
1
2n(n-1)，(n≥2)．
故答案为：


1
2，(n=1)
-
1
2n(n-1)，(n≥2)．

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．

（Ⅰ）由a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），得S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，
所以
1
Sn−
1
Sn−1＝2 (n≥2，n∈N*)，故{
1
Sn}是等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
1
Sn＝2n，
所以Sn＝
1/2n]．an＝Sn−Sn−1＝
1
2n−
1
2(n−1) (n≥2)
所以an＝


1
2，(n＝1)
−
1
2n(n−1)，(n≥2).
（Ⅲ）bn＝2(1−n)•[−
1
2n(n−1)]＝
1
n(n≥2)
所以
b2n＝
1
n2＜
1
n(n−1)＝
1
n−1−
1
n(n≥2)
b₂²+b₃²++b_n²＜1−
1
2+
1
2−
1
3++
1
n−1−
1
n＝1−
1

点评：
本题考点： 等差关系的确定；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查了等差数列的性质和等差关系的确定．对于数列求和问题，应注意掌握裂项法、错位相减、叠加法等方法．

a_n=S_n-S_n-1，
S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，
∴[1
Sn−1−
1
Sn+2＝0，

1
Sn＝
1
Sn−1+2，
∴{
1
Sn}是等差数列，d=2.
1
S1＝
1
a1=2，
1
Sn＝2n．
∴Sn＝
1/2n]．
故答案为：[1/2n]．

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的递推公式，解题时要注意公式的灵活运用，合理地进行等价转化．

： ∵an+2snsn-1=0（n≥2），∴sn-sn-1+2snsn-1=0．两边除以2snsn-1，并移向得出1Sn-1Sn-1=2(n≥2)，∴{1Sn}是等差数列，公差d=2，1S1=1a1=2．∴1Sn=2+2(n-1)=2n，故Sn=12n．∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=-12...

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．