f(x)=x/㏑x-ax在(1,+∞)上为减函数,求实数a的最小值

（1）由f（x）=
x2+ax+b
x=x+[b/x]+a得，f′(x)＝1−
b
x2，
∵f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）是增函数，
∴函数f（x）在x=2出取得极小值，也是函数的最小值，
则f′（2）=0，∴1−
b
4=0，解得b=4，
又∵f（2）=5，∴[4+2a+b/2]=5，解得a=1，
∴f(x)＝x+
4
x+1；
（2）由题意得，s＝
∫e1 f(x)dx＝F(e)−F(1)＝
1
2e2+e+4−
1
2−1
=[1/2e2+e+
5
2]；
（3）由题意知，F（x）=f（x）-c•cosx在(0，
π
6]上是减函数，
∴F′(x)＝1−
4
x2+c•sinx≤0对于x∈(0，
π
6]恒成立，
则c≤

4
x2−1
sinx，
当x=[π/6]时有(

4
x2−1
sinx)min＝
288
π2−2，
∴c≤
288
π2−2．

点评：
本题考点： 函数最值的应用；函数单调性的性质；定积分．

考点点评： 本题考查了导数与函数的单调性、极值和最值的关系，以及定积分求图形的面积，函数恒成立问题的转化，和分离常数法，考查了的范围较广，属于中档题．

命题p等价于
3a
2≤1，3a≤2，即a≤
2
3]．
由y=（2a-1）^x为减函数得：0＜2a-1＜1即[1/2＜a＜1．
又因为p且q为真命题，所以，p和q均为真命题，
所以取交集得
1
2＜a≤
2
3]．
故选C．

点评：
本题考点： 指数函数单调性的应用；复合命题的真假；函数单调性的性质．

考点点评： （1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．

A．函数y=2^x，为增函数，不满足条件．
B．函数y=-x²为偶函数，不满足条件．
C．函数y=x³为奇函数，在定义域上单调递增．
D．函数y=-3x是奇函数在R上是减函数，满足条件．
故选：D．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，比较基础．

f′(x)=
(lna+lnx)′x-x′(lna+lnx)
x2=
1-lna-lnx
x2
由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即1-lna-lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴lnx≥ln
e
a恒成立，
∴ln
e
a≤0，即
e
a≤1，
∴a≥e
故答案为：a≥e．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查用导数法研究函数单调性问题，基本思路是，当函数是增函数时，则f′（x）≥0在D上恒成立；当函数是减函数时，则f′（x）≤0在D上恒成立．

因为二次函数单调区间的分界点为其对称轴方程，
所以x=-
b
6=-[1/3]，
∴b=2⇒f（x）=3x²+2x+1．
则f（x）的最小值为：f（-
1
3）=[2/3]．
故答案为：[2/3]．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查二次函数图象的对称性，是基础题．二次函数是在中学阶段研究最透彻的函数之一，二次函数的图象是抛物线，在解题时要会根据二次函数的图象分析问题，如二次函数的对称轴方程，顶点坐标等．

∵f（x）=log_a（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，
∴f（0）＞f（1），
即log_a2＞log_a（2-a）．
∴

a＞1
2−a＞0，
∴1＜a＜2．
故答案为：C．

点评：
本题考点： 对数函数的单调区间．

考点点评： 本题综合了多个知识点，需要概念清楚，推理正确．（1）复合函数的单调性；（2）函数定义域，对数真数大于零，底数大于0，不等于1．本题难度不大，属于基础题．