设n维向量α(a,0,0.0,a),a

设a=(a1,a2,……,an),b=(b1,b2,……,bn)
1)若a和b线性相关则存在不全为零的常数k1,k2使k1a+k2b=0,不妨设k1不为零,则a=-k2/k1*b故 ai=bi(i=1,2,……,n)
2)反之,若ai=kbi,则a=kb,即1*a-k*b=0故a和b线性相关.

假设a1,a2.an,β线性相关,即存在系数c1,c2,...cn,使得β = c1*a1+c2*a2+...+cn*an
那么Aβ = c1*(A a1)+...+cn*(A an) = 0与β不是方程的解矛盾.

证明：1）充分性显然,因为n+1个n维向量必定线性相关,所以a可由a1,a2,……,an线性表示
2）必要性：因为a是任意n维向量,所以a可由a1,a2,……,an线性表示意味着a1,a2,……,an能表出整个n维空间.若a1,a2,……,an线性相关,则极大线性无关组个数少于n,所以n维空间可由少于n个向量线性表示,这与维数的定义矛盾.

解题思路：将已知的矩阵A=E-αTα，B=E+2αTα代入到AB，化简即可求得答案．

∵A=E-α^Tα，B=E+2α^Tα，
∴AB=（E-α^Tα）（E+2α^Tα）=E+2α^Tα-α^Tα-2α^Tαα^Tα，
而：ααT＝(
1
2，0，…，0，
1
2)


1
2
0
…
0

1
2=[1/2]，
∴AB=E+2α^Tα-α^Tα-2α^T（αα^T）α=E+2αTα−αTα−2•
1
2αTα=E，
故选：C．

点评：
本题考点： 单位矩阵的概念及其性质；矩阵相乘的定义和运算性质；矩阵相乘的结合律、分配率．

考点点评： 此题考查矩阵的数乘和乘法运算，非常基础．