矩阵可对角化,那么矩阵可相似于对角阵是不是和正交相似与对角阵一个意思

|A-λE|=1-λ -1 -22 2-λ -2-2 -1 1-λc1+c3-1-λ -1 -20 2-λ -2-1-λ -1 1-λr3-r1-1-λ -1 -20 2-λ -20 0 3-λ= (-1-λ)(2-λ)(3-λ).所以A的特征值为-1,2,3(A+E)X=0 的基础解系为 a1=(1,0,1)'.(A-2E)X=0 的基...

|A-λE|=
2-λ 1 -1
1 2-λ 1
0 0 1-λ
=(1-λ)[(2-λ)^2-1]
=(1-λ)^2 (3-λ).
所以A的特征值为1,1,3
(A-E)X=0 的基础解系为:(1,-1,0)'.
2重特征值只有一个线性无关的特征向量
故A不能相似对角化.

解: |A-λE|=
1-λ -1 -2
2 2-λ -2
-2 -1 1-λ
c1+c3
-1-λ -1 -2
0 2-λ -2
-1-λ -1 1-λ
r3-r1
-1-λ -1 -2
0 2-λ -2
0 0 3-λ
= (-1-λ)(2-λ)(3-λ).
所以A的特征值为-1,2,3
(A+E)X=0 的基础解系为 a1=(1,0,1)'.
(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(1,-3,1)'.
(A+E)X=0 的基础解系为 a1=(0,-2,1)'.
令P=(a1,a2,a3), 则P可逆, 且 P^-1AP = diag(-1,2,3).

两个矩阵相似不一定都可以对角化, 但其中一个可对角化可以推出另一个也可对角化.
两个矩阵可对角化,它们也不一定相似, 比如零矩阵和单位矩阵.
两矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子, 或它们有相同的行列式因子, 或它们有相同的初等因子, 或它们有相同的标准形.

|A-λE|=(2-λ)(3-λ)^2.
所以A的特征值为2,3,3
(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)'.
(A-3E)X=0 的基础解系为 a2=(0,1,0)',a3=(-2,0,1)'.
令矩阵P = (a1,a2,a3),则P为可逆矩阵,
且 P^-1AP = diag(2,3,3).

可以,这时A的极小多项式是 P(x) 的因子
而P(x)无重根,故A可对角化