设a≥0,在复数集C中解方程z +2ⅠzⅠ=a

解题思路：根据条件中所给的是一个分段函数，首先判断要求的函数的自变量是一个实数还是不是实数，确定不是实数，代入函数式，写出两个复数相乘的结果．

∵1+i∉R，
∴f（1+i）=（1-i）（1+i）=1-i²=2，
故选：C．

点评：
本题考点： 复数代数形式的乘除运算．

考点点评： 本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查分段函数的应用，考查判断一个数字是否是实数，本题是一个基础题，一般不会出错．

解题思路：根据复数集C上定义的“序”的关系，对A，B，C，D逐个判断，即可得到答案．

设两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i（a₁，b₁，a₂，b₂∈R，i为虚数单位），
∵“a₁＞a₂”或“a₁=a₂且b₁＞b₂”⇔“z₁＞z₂”，
∴对于A，z₁=1+0i，z₂=0+i，z₃=0+0i，
显然1=z1实部＞z2实部=z3实部=0，1=z2虚部＞z3虚部=0，
∴A正确；
对于B，同理可得当z₁＞z₂，z₂＞z₃时，z₁＞z₃，故B正确；
对于C，∵z₁＞z₂，
∴z1实部＞z2实部或z1实部=z2实部，z1虚部＞z2虚部，
若z1实部＞z2实部，（z₁+z）_实部＞（z₂+z）_实部；
若z1实部=z2实部，z1虚部＞z2虚部，则（z₁+z）_实部=（z₂+z）_实部，（z₁+z）_虚部＞（z₂+z）_虚部，
故C正确；
对于D，按照新“序”的定义，复数z＞0，不妨设z=i，z₁=1+i，z₂=1-i，显然z₁＞z₂，
而z•z₁=i•（1+i）=-1+i，
z•z₂=i•（1-i）=1-i，
显然z•z₁＜z•z₂，
故选D．

点评：
本题考点： 复数的基本概念．

考点点评： 本题考查复数的基本概念，理解复数集C上定义的“序”及其应用是关键，也是难点，考查分析与运算能力，属于中档题．

复数由实数和虚数组成,所R是C的真子集

①②

提示：设Z=a+bi,代入条件,得aa-bb+2abi+2根号（aa+bb)=a.比较实部和虚部,有
aa-bb+2根号（aa+bb)=a
2ab=0.
分情况讨论a,b一个等于0,或同时等于0的情况解出a,b.

解题思路：根据z₁＞z₂当且仅当“a₁＞a₂”或“a₁=a₂且b₁＞b₂”，判断各个选项中的结论是否满足此定义，从而得出结论．

∵任意两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i（a₁，a₂，b₁，b₂∈R），z₁＞z₂当且仅当“a₁＞a₂”或“a₁=a₂且b₁＞b₂”．
由于1=1+0i，i=0+1×i，0=0+0×i，故有1＞i，且i＞0，故①正确．
由定义可得，复数的大小具有传递性，故②正确．
对于③：由定义可得，复数的大小具有传递性正确．若z₁＞z₂，则，对于任意z∈C，z₁+z＞z₂+z，故③正确．
④不正确，如当 z₁ =3i，z₂=2i，z=i时，zz₁=-3，zz₂ =-2，显然不满足zz₁＞zz₂ ．
故选C．

点评：
本题考点： 复数的代数表示法及其几何意义．

考点点评： 本题主要考查复数的基本概念，z1＞z2 的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．

2x" - 4x + 5
= 2x" - 4x + 2 + 3
= 2[ ( x - 1 )" + 3/2 ]
= 2[ ( x - 1 )" - ( -6/4 ) ]
= 2{ ( x - 1 )" - [ (√6/ 2)i ]" }
= 2[ x - 1 - (√6/ 2)i ][ x - 1 + (√6/ 2)i ]
或者
= 2[ 2x /2 - 2/2 - (√6/ 2)i ][ 2x /2 - 2/2 + (√6/ 2)i ]
= (1/2)( 2x - 2 - √6i )( 2x - 2 + √6i )

解题思路：由f(x)=

1+x x∈R (1-i)x x∉R

，知f（1+i）=（1-i）（1+i），由此能求出结果．

∵f(x)=

1+x x∈R
(1-i)x x∉R，
∴f（1+i）=（1-i）（1+i）=1-i²=2．
故选D．

点评：
本题考点： 函数的值．

考点点评： 本题考查函数值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意复数的合理运用．

由题意,原方程左边可分解为（x－a）^2与（x－b）^2的积,把他乘起来,合并,与原方程的系数对应相等,可得方程组,可解出ab.
也可用一元四次方程的求根公式求出它的根.

解题思路：欲求f（1+i）的值，只需判定1+i是否是实数，然后代入相应的解析式进行求解即可．

∵f（x）=

1+xx∈R
(1−i)xx∉R，1+i∉R
∴f（1+i）=（1-i）（1+i）=2
故选A．

点评：
本题考点： 复数代数形式的乘除运算；函数的值．

考点点评： 本题主要考查了分段函数求解，以及复数代数形式的乘法，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．

解题思路：由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误．S={0}，T={0，1}，推出-1不属于T，判断④是错误的．

两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确．
当S为封闭集时，因为x-y∈S，取x=y，得0∈S，②正确
对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误
取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0-1=-1不属于T，故T不是封闭集，④错误．

点评：
本题考点： 复数的基本概念；子集与真子集；集合的包含关系判断及应用．

考点点评： 本题考查复数的基本概念，集合的子集，集合的包含关系判断及应用，是中档题．

①②

设x=a ₁ +b ₁ i,y=a ₂ +b ₂ i,a ₁ ,b ₁ ,a ₂ ,b ₂ 为整数,
则x+y=(a ₁ +a ₂ )+(b ₁ +b ₂ )i,x-y=(a ₁ -a ₂ )+(b ₁ -b ₂ )i,xy=(a ₁ a ₂ -b ₁ b ₂ )+(a ₁ b ₂ +a ₂ b ₁ )i,
由于a ₁ ,b ₁ ,a ₂ ,b ₂ 为整数,
故a ₁ ±a ₂ ,b ₁ ±b ₂ ,a ₁ a ₂ -b ₁ b ₂ ,a ₁ b ₂ +a ₂ b ₁ 都是整数,
所以x+y,x-y,xy∈S,
故集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集,①是真命题;若S是封闭集,且x=y∈S,则根据封闭集的定义,x-y=x-x=0∈S,故命题②正确;集合S={0},显然是封闭集,故封闭集不一定是无限集,命题③不正确;集合S={0}⊆{0,1}=T⊆C,容易验证集合T不是封闭集,故命题④不是真命题.
【方法技巧】集合新定义问题的解题技巧
这种新定义的题目关键就是抓住新定义的本质,紧扣新定义进行推理论证,本题中就是根据封闭集满足其集合中的任意两个元素的和、差、积还是这个集合中的元素.判断一个元素是不是集合中的元素,就看这个元素是否符合集合中代表元素的特征.

(1)设方程为ax^3+bx^2+cx+d=0
a(2x1)^3+b(2x1)^2+2cx1+d=8ax1^3+4bx1^2+2cx1+d
取8a=1,4b=2,2c=-1,d=3即可,得到
a=1/8,b=1/2,c=-1/2,d=3
代入并整理得到x^3+2x^2-x+3=0
（2）这和（1）的做法是一样的
（3）这个做的时候两边同时乘以x1^3即可,后面的做法也和（1）一样

a＜0时无解.

方程2x²-4x+5=0的根=(4±i√24)/4=1±i√6/2
所以原式=(x-1+i√6/2)(x-1-i√6/2)

1正确；设复数z1=a+bi,z2=c+di（abcd均为整数）,则z1,z2均在S内
于是z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i
a,b,c,d都是整数的时候,加法减法乘法都是封闭的
所以三个结果都是S里的
2正确,假设a,b属于S那么当x=a,y=b的时候,a-b属于S
x=b,y=a的时候,b-a也属于S
(b-a)+(a-b)=0
所以0一定属于S
3.如果x,y可以取相同元素的话
这个命题是错误的……S={0}符合要求
4.显然不正确 假设S取实数集
实数集加上虚数单位i是集合T
T显然不是封闭集……

因为方程有复数根 x = -i ,
所以左边有因子 x+i ,
做除法可知 x^3-(1-i)x^2+(1-i)x+i = (x+i)(x^2-x+1) ,
由 x^2-x+1 = (x-1/2)^2+3/4 = 0 得 (x-1/2)^2 = -3/4 ,
所以 x = 1/2±√3/2*i ,
因此,原方程在复数集 C中的解集是｛-i,1/2+√3/2*i ,1/2-√3/2*i｝.

方程可改写成（x-a)(x-a)(x-b)(x-b)=0
展开,对比系数
可得
a+b=2
ab=3
然后就不用我算了吧

由于S非空
任取x∈S,由封闭性,0=x-x∈S
因此0∈S

一.在复数集C中分解因式:
1) x^2+5=x^2-(-5)=(x+√5i)(x-√5i)
2) 2x^2-6x+5=2(x^2-3x+5/2)=2(x^2-3x+9/4+1/4)=2(x-3/2+i/2)(x-3/2-i/2)
3) x^2-2xcosα+1=x^2-2xcosα+cos^2α+sin^2α=(x-cosα+isinα)(x-cosα-isinα)
4) x^6-1=(x^3+1)(x^3-1)=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)=(x+1)(x-1)(x-(1+√3i)/2)(x-(1-√3i)/2)(x-(-1+√3i)/2)(x-(-1-√3i)/2)
二.解下列方程:
1) x^4+24i=0
x^4-12(1-i)^2=0
(x^2+2√3(1-i))(x^2-2√3(1-i))=0
(x+r(icosθ+sinθ))(x-r(icosθ+sinθ))(x+r(cosθ-isinθ))(x-r(cosθ-isinθ))=0
于是得到四个解.其中,r=4√24（四次根号24）,θ=π/8,cosθ=√(2+√2)/2,sinθ=√(2-√2)/2.
2) (x+1)^9=(1+i)^9
先分解因式x^9-y^9=(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^6+x^3y^3+y^6),然后用前两个式子可以得到三个根
x=i
x=(-3-i+√3(-1+i))/2
x=(-3-i-√3(-1+i))/2
至于剩下六个根繁得出奇,略.
三.巳知复数Z=x+yi(x,y全属于R),求下列各式的实部与虚部:
1) Z^2=(x^2-y^2)+2xyi
2) Z^3=(x^3-3xy^2)+(3x^2y-y^3)i
3) 1/Z=1/(x+yi)=(x-yi)/(x^2+y^2)=x/(x^2+y^2)-yi/(x^2+y^2)
4) V0Z+(M/2π)*1/Z=V0x+V0yi+Mx/2π(x^2+y^2)-Myi/2π(x^2+y^2)
=[V0x+Mx/2π(x^2+y^2)]+[V0y-Myi/2π(x^2+y^2)]i
从以上结果很容易得出实部和虚部.
四.巳知(x+yi)^3=a+bi,这里a,b,x,y全属于R,求证
(a/x)+(b/y)=4(x^-y^2)
证明：由上题可知,(x+yi)^3=(x^3-3xy^2)+(3x^2y-y^3)i,根据复数相等的定义,a=(x^3-3xy^2),b=(3x^2y-y^3).
所以(a/x)+(b/y)
=(x^2-3y^2)+(3x^2-y^2)
=4(x^-y^2).

对.
（-i)²+1=-1+1=0