已知函数f(x2−3)＝logax26−x2(a＞0，a≠1)．

解题思路：（1）整体代换的思路用换元法求解析式，设x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函数，求出f（t），即f（x）的表达式
（2）通过（1）的解析式判断奇偶性，判断定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）之间的关系，根据函数奇偶性的定义进行证明．
（3）将f（x）看成关于x的方程，通过解方程求出x，然后将x，y互换得到f（x）的反函数．
（4）把φ（x）代入f（x）的解析式，求出φ（x）的值，把3代入φ（x）即可解出φ（3）的值．

（1）设x²-3=t（t＞-3），
所以原函数转化为f（t）=lg [t+3/t−3]，
由 [t+3/t−3]＞0得定义域为{t|t＞3}
即f（x）=lg [x+3/x−3]，定义域为{x|x＞3}
（2）因为f（x）的定义域是（3，+∞）
所以函数f（x）是非奇非偶函数
（3）由f（x）=lg [x+3/x−3]得
x＝
3(10y+1)
10y−1(y∈(0，+∞))
所以f（x）的反函数是f−1(x)＝
3(10x+1)
10x−1(x∈(0，+∞))
（4）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg
φ(x)+3
φ(x)−3=lgx
即：
φ(x)+3
φ(x)−3=x
解得：φ（x）=[3x+3/x−1]
则：φ（3）=6

点评：
本题考点： 反函数；函数的定义域及其求法；函数的值；对数函数的定义域．

考点点评： 本题考查复合函数的定义域及单调性的求解，第三问为创新型题目，为中档题

解题思路：（1）令 x²-3=t，代入函数的解析式求得 f（t）=loga

t+3

3−t

，f（x）=loga

x+3

3−x

．由 [x+3/3−x]＞0 求得函数的定义域关于原点对称，再由f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
（2）当a＞1时，由不等式可得[x+3/3−x]≥2x＞0，由此求得x的取值范围．当0＜a＜1时，由由不等式可得 0＜[x+3/3−x]≤2x，由此求得x的取值范围．

答：（1）∵函数f(x2−3)＝loga
x2
6−x2(a＞0，a≠1)，令 x²-3=t，则 x²=t+3．
则有 f（t）=loga
t+3
3−t，故 f（x）=loga
x+3
3−x．
再由 [x+3/3−x]＞0 解得-3＜x＜3，故函数f（x）的定义域为（-3，3）．
由f（-x）=loga
−x+3
3+x=-loga
x+3
3−x=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
（2）当a＞1时，由f（x）=loga
x+3
3−x≥log_a2x，可得[x+3/3−x]≥2x＞0，
解得 0＜x≤1，或[3/2≤x＜3．
当0＜a＜1时，由f（x）=loga
x+3
3−x]≥log_a2x，可得 0＜[x+3/3−x]≤2x，
解得 1≤x≤
3
2．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查判断函数的奇偶性的方法和步骤，解对数不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

解题思路：（1）整体代换的思路用换元法求解析式，设x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函数，求出f（t），即f（x）的表达式
（2）通过（1）的解析式判断奇偶性，判断定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）之间的关系，根据函数奇偶性的定义进行证明．
（3）将f（x）看成关于x的方程，通过解方程求出x，然后将x，y互换得到f（x）的反函数．
（4）把φ（x）代入f（x）的解析式，求出φ（x）的值，把3代入φ（x）即可解出φ（3）的值．

（1）设x²-3=t（t＞-3），
所以原函数转化为f（t）=lg [t+3/t−3]，
由 [t+3/t−3]＞0得定义域为{t|t＞3}
即f（x）=lg [x+3/x−3]，定义域为{x|x＞3}
（2）因为f（x）的定义域是（3，+∞）
所以函数f（x）是非奇非偶函数
（3）由f（x）=lg [x+3/x−3]得
x＝
3(10y+1)
10y−1(y∈(0，+∞))
所以f（x）的反函数是f−1(x)＝
3(10x+1)
10x−1(x∈(0，+∞))
（4）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg
φ(x)+3
φ(x)−3=lgx
即：
φ(x)+3
φ(x)−3=x
解得：φ（x）=[3x+3/x−1]
则：φ（3）=6

点评：
本题考点： 反函数；函数的定义域及其求法；函数的值；对数函数的定义域．

考点点评： 本题考查复合函数的定义域及单调性的求解，第三问为创新型题目，为中档题

解题思路：（1）整体代换的思路用换元法求解析式，设x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函数，求出f（t），即f（x）的表达式
（2）通过（1）的解析式判断奇偶性，判断定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）之间的关系，根据函数奇偶性的定义进行证明．
（3）将f（x）看成关于x的方程，通过解方程求出x，然后将x，y互换得到f（x）的反函数．
（4）把φ（x）代入f（x）的解析式，求出φ（x）的值，把3代入φ（x）即可解出φ（3）的值．

（1）设x²-3=t（t＞-3），
所以原函数转化为f（t）=lg [t+3/t−3]，
由 [t+3/t−3]＞0得定义域为{t|t＞3}
即f（x）=lg [x+3/x−3]，定义域为{x|x＞3}

（2）因为f（x）的定义域是（3，+∞）
所以函数f（x）是非奇非偶函数
（3）由f（x）=lg [x+3/x−3]得
x＝
3(10y+1)
10y−1(y∈(0，+∞))
所以f（x）的反函数是f−1(x)＝
3(10x+1)
10x−1(x∈(0，+∞))
（4）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg
φ(x)+3
φ(x)−3=lgx
即：
φ(x)+3
φ(x)−3=x
解得：φ（x）=[3x+3/x−1]
则：φ（3）=6

点评：
本题考点： 反函数；函数的定义域及其求法；函数的值；对数函数的定义域．

考点点评： 本题考查复合函数的定义域及单调性的求解，第三问为创新型题目，为中档题