频率分布表中频率之和为什么等于一

由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79，
∴后三组共有的频数为21，
依题意
a1•(1−q3)
1−q=21，
a₁（1+q+q²）=21．
∴a₁=1，q=4．
∴后三组频数最高的一组的频数为16．

点评：
本题考点： 频率分布表；等比数列的性质．

考点点评： 学生已有对统计活动的认识，并学习了统计图表、收集数据的方法，对于如何抽样更能使样本代表总体的意识要加强；学生对全面调查，即普查有所了解，它在经验上更接近确定性数学．

（1）由频率分布表知a=100×0.35=35，b＝
30
100＝0.3，c=100×0.2=20
因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第三组[30/60×6＝3人，第四组
20
60×6＝2人，第五组
10
60×6＝1人．
所以第三、四、五组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．
（2）设第三组的3名学生为A1、A2、A3，第四组的2名学生为B1、B2，
第五组的1名学生为C1．则从6名学生中抽取2名学生有15种可能：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2、C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），
第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试共有9种可能
其中第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试的概率为
9
15＝
3
5]．

点评：
本题考点： 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．

考点点评： 本题考察频率分布直方图、分层抽样、古典概型的基本知识，是一道常见的高考题．

（1）100×0.24=24，---------------------------------（3分）
[30/100]=0.3---------------------------------（6分）
（2）∵30：20：10=3：2：1
所以第三、四、五各组参加考核人数分别为6，4，2．------------------------（14分）
（在有错误的情况下，三个答案中算对一个给3分）

点评：
本题考点： 分层抽样方法；频率分布表．

考点点评： 本题考查等可能事件的概率计算与频率分布表的运用，是常见的题型，注意加强训练．

（1）①的位置为12，②的位置为0。30 ；
（2）第三、四、五组抽中的人数为3、2、1；
（3） 。

（1）设抽取的样本为x 名学生的成绩，
则由第四行中可知0.3＝
12
x，所以x=40．
∴④处填40　
③处填[4/40]=0.1，
②1-0.05-0.2-0.3-0.275-0.1-0.05=0.025，
①0.025×40=1．（3分）

（2）利用组中值估计平均数为：

.
x=90×0.025+100×0.05+110×0.2+120×0.3+130×0.275+140×0.1+150×0.05=122.5．

（3）在[129，150]上的概率为[6/10]×0.275+0.1+[6/11]×0.05≈0.292．

点评：
本题考点： 众数、中位数、平均数；频率分布表．

考点点评： 本题考查频率分步直方图，考查频率分布表，考查等可能事件的概率，是一个典型的统计问题，注意解题时不要在数字运算上出错．

由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79，
∴后三组共有的频数为21，
依题意
a1•(1−q3)
1−q=21，
a₁（1+q+q²）=21．
∴a₁=1，q=4．
∴后三组频数最高的一组的频数为16．

点评：
本题考点： 频率分布表；等比数列的性质．

考点点评： 学生已有对统计活动的认识，并学习了统计图表、收集数据的方法，对于如何抽样更能使样本代表总体的意识要加强；学生对全面调查，即普查有所了解，它在经验上更接近确定性数学．

由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79，
∴后三组共有的频数为21，
依题意
a1•(1−q3)
1−q=21，
a₁（1+q+q²）=21．
∴a₁=1，q=4．
∴后三组频数最高的一组的频数为16．

点评：
本题考点： 频率分布表；等比数列的性质．

考点点评： 学生已有对统计活动的认识，并学习了统计图表、收集数据的方法，对于如何抽样更能使样本代表总体的意识要加强；学生对全面调查，即普查有所了解，它在经验上更接近确定性数学．

（1）第三小组的频率A=0.2，该班参赛的学生人数B=50人；

（2）如图所示：
．

点评：
本题考点： 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．

考点点评： 本题考查频率及频数的计算，以及动手绘制直方图的能力．

（1）由频率分布表得：
0.05+m+.015+.035+n=1，
∴m+n=0.45----------------（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，则n=[2/20]=0.1，
∴m=0.45-0.1=0.35-------------（5分）
（2）由（1）得等级为3的零件有3个，记作a，b，c，等级为5的零件有2个，记作A，B，
从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，有
（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），
（b，A），（b，B），（a，A），（c，B），（A，B），共10种…（8分）
记事件A为“抽取的2个零件等级不相同”，则A包含的基本事件是

（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），共6个…（10分），
所求概率P（A）=[6/10]=[3/5]，
即抽取的2个零件等级不相同的概率为[3/5] …（12分）

点评：
本题考点： 古典概型及其概率计算公式．

考点点评： 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，得
a=[30/200]=0.15，
b=200-（10+30+70+60）=30，
c=[60/200]=0.3．
（Ⅱ）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A．
由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，
所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为P(A)＝
100+60
200＝
4
5．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60：100：40=3：5：2．
所以按分层抽样法，购买灯泡数 n=3k+5k+2k=10k（k∈N^*），
所以n的最小值为10．

点评：
本题考点： 古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．

考点点评： 本题考查了分层抽样方法以及古典概型的概率及其应用问题，解题时应根据题目中的表格求出未知的量，利用概率的知识解答，是综合题．

（Ⅰ）由题意得：
0.06+0.12+0.58+x+0.06=1，
∴x=0.18，
∴估计成绩不低于80分的概率为：
0.18+0.06=0.24．
（Ⅱ）由题意知：
成绩在[80，90）之间的学生有50×0.18=9（人），
成绩在[90，100]之间的学生有50×0.06=3（人），
从成绩不低于80分的学生中随机选取3人，
该3人中成绩在90分以上（含90分）的人数ξ的取值可能为0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C39

C312=[21/55]，
P（ξ=1）=


C29C13

C312=[27/55]，
P（ξ=2）=


C19C23

C312=[27/220]，
P（ξ=3）=

C33

C312=[1/220]，
∴ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3
P [21/55] [27/55] [27/220] [1/220] ∴ξ的数学期望Eξ=0×
21
55+1×
27
55+2×
27
220+3×
1
220=[3/4]．

点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．

考点点评： 本题考查频率分布表的应用，考查离散型随机变量的数学期，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

（1）M=[1/0.02]=50，m=50-（1+4+20+15+8）=2，n=0.02×2=0.04，N=1．
（2）频率分布直方图如右图：
（3）估计九年级学生中女生的身高在153.5以上的概率为
P=0.40+0.30+0.16+0.04=0.9．

点评：
本题考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．

考点点评： 本题考查了频率分布直方图及频率分布表的作法及应用，属于基础题．

（1）①位置上的数据为0.35×
5
0.05=35，②位置上的数据为[30/100]=0.3；
频率分布直方图如右图：
（2）6×[35/35+30+20]≈2.47，6×[30/85]≈2.11，6×[20/85]≈1.41．
故第3、4、5组每组各抽取3，2，1名学生进入第二轮面试．
（3）其概率模型为古典概型，
设第3、4、5组抽取的学生分别为：a，b，c，1，2，m．
则其所有的基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，m），
（b，c），（b，1），（b，2），（b，m），
（c，1），（c，2），（c，m），
（1，2），（1，m），
（2，m）．
共有15个，符合条件的有9个；
故概率为[9/15]=0.6．

点评：
本题考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．

考点点评： 本题考查了频率分布直方图与频率分布表的作法与应用，同时考查了古典概型，属于基础题．

（1）由题意可知，第2组的频数为0.35×100=35人，
第3组的频率为
30
100＝0.3，
（2）∵第3、4、5组共有60名学生，
∴利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：第3组：
30
60×6＝3人，第4组：
20
60×6＝2人，第5组：
10
60×6＝1人，
∴第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．

点评：
本题考点： 频率分布表；分层抽样方法．

考点点评： 本题考查频率分布表，考查频率，频数和样本容量之间的关系，三者可以做到知二求一，考查分层抽样方法，在分层抽样中注意所要求抽取的比．

（Ⅰ） 函数f（x）=x²-ηx-1在（[η/2]，+∞）内单调递增，
若在区间（4，6）上有零点的条件是

f(4)＜0
f(6)＞0，
即：

16−4η−1＜0
36−6η−1＞0
解得：[15/4]＜η＜[35/6]，
所以，η=4或η=5；…（3分）
P（η=4）=

C220+
C110•
C115

C250=[68/245]，
P（η=5）=

C120•
C115

C250=[60/245]，…（5分）
η=4与η=5为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式得：
P=P（η=4）+P（η=5）=[128/245]，…（6分）
（Ⅱ） 根据频率分布得到頻数分布：

参加次数0123
参加人数5102015从该班级任选两名同学，用ξ表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，则ξ的可能取
值分别是0，1，2，3，…（9分）
于是：
P（ξ=0）=

C25+
C210+
C220+
C215

C250=[2/7]，
P（ξ=1）=

C15•
C110+
C110
•C120+
C115•
C120

C250=[22/49]，
P（ξ=2）=

C15•
C120+
C110•
C115

C250=[10/49]，
P（ξ=3）=

C15•
C115

C250=[3/49]，…（11分）
从而ξ的分布列如下表：

ξ0123
P[2/7][22/49][10/49][3/49]ξ的数学期望为Eξ=1×[22/49]+2×[10/49]+3×[3/49]=[51/49]． …（13分）

点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

考点点评： 此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．

(1)根据频数之和等于总个数，频率之和等于1求解即可；

(2)直接根据(1)中的结果补全频数分布直方图即可；

(3)根据89.5∼100.5这一组的人数及概率公式求解即可。

(1)由题意得a=50−2−20−16−4=8，b=1−0.04−0.16−0.40−0.32=0.08；

(2)如图所示：

(3)由题意得张明被选上的概率是。

（1）a＝8，b＝0.08；（2）如下图；（3）



<>

（1）a=50-（6+17+15+4）=8，
b=1-（0.12+0.34+0.3+0.08）=0.16；
右图是补全的频率分布直方图．

（2）共有50人，前两组有14人，第三组有17人，故第25，26人落在第三组内，即中位数落在4.55-4.85组内．

（3）1000×[15/50]=300（人）．
答：该校初三学生视力正常的人数约为300人．

点评：
本题考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．

考点点评： 本题是考查频率及频数的计算，属于基础题，只要认真就能做对．

(1) , ；（2） .


<>

解 （Ⅰ）
分组 频数累计 频数 频率
[10.75，10.85） 6 6 0.06
[10.85，10.95） 15 9 0.09
[10.95，11.05） 30 15 0.15
[11.05，11.15） 48 18 0.18
[11.15，11.25） 72 24 0.24
[11.25，11.35） 84 12 0.12
[11.35，11.45） 92 8 0.08
[11.45，11.55） 98 6 0.06
[11.55，11.65） 100 2 0.02

（Ⅲ）0.15+0.18+0.24+0.12=0.69=69%，
所以产品直径落在[10.95，11.35）范围内的可能性为69%．

点评：
本题考点： 频率分布直方图；频率分布表．

考点点评： 本题主要考查频率分布表与频率分布直方图的应用，比较基础．

（1）∵M=[1/0.02]=50，m=50-（1+4+20+15+8）=2，N=1，n=[m/M]=[2/25]=0.04．
∴M=50，m=2，N=1，n=0.04．
作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示频率/组距，横轴表示身高，画出直方图如下图．


（2）根据频率分布直方图，知由图知：前两个矩形的面积为（0.005+0.02）×4=0.1，0.5-0.1=0.4，[0.4/0.44]×4≈3.6，
∴中位数为153.5+3.6=157.1．
平均数=147.5×0.02+151.5×0.08+155.5×0.44+159.5×0.26+163.5×0.16+167.5×0.04=157.98．
（3）在161.5～165.5有8人，165.5～169.5有2人
设从身高为161.5以上选取2人，她们在同一身高段的事件为D．
P（D）=

C28•
C22

C210=[28/45]
从身高为161.5以上选取2人，她们在同一身高段的概率为[28/45]．

点评：
本题考点： 古典概型及其概率计算公式；频率分布表；频率分布直方图．

考点点评： 本题主要考查频率分布直方图和表，还考查同学们通过已知数据作出频数直方图、表的能力．属于基础题．

由频率分布表的性质可得 各组频率之和等于1，
故由题意可得，第2组与第3组的频率之和为 1-0.1-0.3=0.6，
故答案为 0.6．

点评：
本题考点： 频率分布表．

考点点评： 本题主要考查频率分布表的性质，属于基础题．

在对100个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和等于100，频率之和等于1．
故答案为：100；1．

点评：
本题考点： 频数（率）分布表．

考点点评： 此题考查了频数（率）分布表，弄清题意是解本题的关键．

由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79，
∴后三组共有的频数为21，
依题意
a1•(1−q3)
1−q=21，
a₁（1+q+q²）=21．
∴a₁=1，q=4．
∴后三组频数最高的一组的频数为16．

点评：
本题考点： 频率分布表；等比数列的性质．

考点点评： 学生已有对统计活动的认识，并学习了统计图表、收集数据的方法，对于如何抽样更能使样本代表总体的意识要加强；学生对全面调查，即普查有所了解，它在经验上更接近确定性数学．

观察这个样本：共10个，最大的97，最小的58．要求组距为20，应分[97−58/20]=2.25，应分3组；
有4个数在69.5-89.5之间，故这组频率为[4/10]=0.4，
各组频率之和为1．
故本题答案为：3；0.4；1．

点评：
本题考点： 频数（率）分布表．

考点点评： 本题考查组距，分组数的确定方法：组距=（最大值-最小值）÷组数．第一组的下限应低于最小变量值，最后一组的上限应高于最大变量值．