x1=0,x2+x3=0,求基础解系

一个线性方程组的基础解系是这样的一个解向量组：
1.这个解向量组是线性无关的；
2.方程组的任意一个解向量都可由这个线性无关的解向量组线性表示.
在线性方程组Ax=0中,若矩阵A的秩为r,则基础解系所含解向量的个数是n-r.
在这里,矩阵A的秩为1,则基础解系所含解向量的个数应该是2个解向量,一个解向量是不能构成一个基础解系的.
另外你给出的那个解正好可以用X1,X2这个基础解系线性表示.X1+X2就是你给出的那个解.
原方程组和x1-x2+x3=0是同解的,若令x2=k1,x3=k2,则x1=k1-k2,
于是方程组的通解为(k1-k2,k1,k2)=k1(1,1,0)+k2(-1,0,1).
可见基础解系就是让自由未知量x2和x3轮流取1,0后再确定出x1所得到的.
一般情况下若线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩为r,则线性方程组有n-r个自由未知量,故基础解系所含解向量的个数是n-r个.让这n-r个自由未知时中的一个取1,其它自由未知时取0,这样可以得到一个解向量.用这样的方法可以得到n-r个解向量,也就得到了基础解系.

k=1或-2
齐次线性方程组有非零解意味着其系数矩阵有零行.
其行列式的值=0
列出行列式
|k 1 2|
|2 k -1| =0
|-1 -1 1|
求出k=1或-2

（a)基础解系 ﹙0,0,1,0﹚′,﹙1,-1,0,1﹚′
﹙b)基础解系 ﹙0,1,1,0﹚′ ﹙1,1,0,-1﹚′
求公共解
a﹙0,0,1,0﹚′+b﹙1,-1,0,1﹚′＝c﹙0,1,1,0﹚′ +d﹙1,1,0,-1﹚′得到a＝b＝c＝d＝0
公共解只有零解.

k=1或-2
齐次线性方程组有非零解意味着其系数矩阵有零行.
其行列式的值=0
列出行列式
|k 1 2|
|2 k -1| =0
|-1 -1 1|
求出k=1或-2

根据定理,其次线性方程组有非零解等价于 系数行列式为零.
也就是 λ 1 1
1 μ 1 =0 化简一下为
1 2μ 1
λ 1 1
1 μ 1 =0 所以是μ(λμ-1)=0.
0 μ 0
因此 μ=0或者λμ=1.

k=1或-2
齐次线性方程组有非零解意味着其系数矩阵有零行.
其行列式的值=0
列出行列式
|k 1 2|
|2 k -1| =0
|-1 -1 1|
求出k=1或-2

可以.
但我觉得（1,1,0）和（1,-1,-2）更好,因为这两个向量直接就正交了,比如说你是做化二次型为标准型之类的题目,就可以省得等下用斯密特正交化了.

解: 因为AB=0,所以B的列向量都是Ax=0的解
而B≠0, 所以齐次线性方程组Ax=0有非零解
故 r(A)

a 1 -1
1 a -1
2 -1 1
r1+r3,r2+r3
a+2 0 0
3 a-1 0
2 -1 1
= (a+2)(a-1).
所以 a=1 或 a=-2 时方程组有非零解.

1. 这是定理
事实上A正定, 则对任一向量x≠0, x^TAx > 0
所以 A 的正惯性指数为n
所以A合同于单位矩阵E
反之显然.
2. (1,0,0)^T, (0,1,-1)^T
3. 特征向量是非零向量, 看看定义
4. 不可能, 那一定是特征值不对

(1,-1,-1)

有个定理是:齐次线性方程组基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩.即n-r
x1+x2+x3=0;
2x1-x2+x3=0
写为矩阵
1 1 1 1 1 1 1 4 0
2 -1 1 = 0 -3 -1 = 0 3 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
矩阵的秩为2,所以基础解析向量有一个 3-2=1