四元二次方程a^2+c^2=xb^2+c^2=ya^2+d^2=zb^2+d^2=nhow to do!

用solve（）函数求解四元一次方程组。代码如下
syms x3 x4 y3 y4 t
x1=19/64;y1=0;x2=1;y2=57/64;
eq1=x3*cos(t)+y3*sin(t)-x1;
eq2=y3*cos(t)+x3*sin(t)-y1;
eq3=x4*cos(t)+y4*sin(t)-x2;
eq4=y4*cos(t)+x4*sin(t)-y2;
eq5=(y4-y3)/(x4-x3)-tan(t);
s=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,'x3','x4','y3','y4','t')
double(s.t)
double(s.x3)
double(s.x4)
double(s.y3)
double(s.y4)

解题思路：根据已知，可知矩阵A的秩为4，又二次型的正负惯性指数之和等于秩，所以可以求出规范型．

因为 A^2+A=E
所以 A（A+E）=E
所以 A可逆，
又f为四元二次型，
故 r（A）=4．
又因为二次型的负惯性指数2，
所以二次型的正惯性指数为 4-2=2，
所以二次型的规范型为 f=y12+y22−y32−y42．
故答案为；y12+y22−y32−y42．

点评：
本题考点： 二次型的规范形．

考点点评： 本题主要考查二次型的规范形，本题属于基础题．

解题思路：根据已知，可知矩阵A的秩为4，又二次型的正负惯性指数之和等于秩，所以可以求出规范型．

因为 A^2+A=E
所以 A（A+E）=E
所以 A可逆，
又f为四元二次型，
故 r（A）=4．
又因为二次型的负惯性指数2，
所以二次型的正惯性指数为 4-2=2，
所以二次型的规范型为 f=y12+y22−y32−y42．
故答案为；y12+y22−y32−y42．

点评：
本题考点： 二次型的规范形．

考点点评： 本题主要考查二次型的规范形，本题属于基础题．

求得两组第一组：a1 = 1/6 - √1703 / 52 ≈ - 0.62693757494b1 = 1/4 - √1703 / 78 ≈ - 0.27906949441c1 = -1/4 - √1703 / 78 ≈ - 0.77906949441d1 = 1/6 + √1703 / 52 ≈ 0.96027090828第二组：a2 = 1/6 + √...

准确的解析表达式肯定是很难写的,我考虑下面这样的解题思路（对于具体的数值,按过程计算就行）,当然,这样的方程工程上通常让软件去计算

设 x = cosα y= sinα m=cosβ n=sinβ
则 R/A*sinαsinβ + (H/2-Q)*1/A*sinαcosβ+(W/2-P)*1/A* cosα = (H/2-Q)*1/C*sinβ - R/C*cosβ
=R/B*cosαsinβ + (H/2-Q)*1/B*cosαcosβ - (W/2-P)*1/B* sinα
设 D=H/2-Q ,E=W/2-P,整理上面的方程,并按 sinβ、cosβ 联立
(R/B*cosα - D/C)sinβ + (D/B*cosα + R/C)cosβ = E/B*sinα (1)
(R/A*sinα - D/C)sinβ + (D/A*sinα+ R/C)cosβ = - E/A*cosα (2)
上述“二元一次”方程组记作
a1 *sinβ + b1*cosβ = c1 (1')
a2 *sinβ + b2*cosβ= c2 (2')
则 从sin²β +cos²β = 1, 应当有 (a1b2-a2b1)² = (c1b2-c2b1)² + (a1c2-a2c1)² (3)

可以计算得
a1b2-a2b1 = (R²+D²)/(ABC) * (Acosα - Bsinα) (4)
c1b2-c2b1 = RE/(ABC) * (Asin + Bcosα) + DE/(AB) (5)
a1c2-a2c1 = DE/(ABC) * (Asin + Bcosα) - RE/(AB) (6)

设 A/√(A²+B²) = cosφ, B/√(A²+B²) = sinφ,代换(4)(5)(6)
(4)式 = 记作 K1 cos(α + φ)
(5)式 = 记作 K2 sin(α + φ) + K4
(6)式 = 记作 K3 sin(α + φ) + K5
代入 （3）式,并利用 cos²(α + φ) = 1 - sin²(α + φ),得到 sin(α + φ) 的一元二次方程
(K1²+K2²+K3²) sin²(α + φ) + (2K2K4+2K3K5) sin(α + φ) + (K4²+K5²-K1²) = 0
所有问题都化归为上述一元二次方程

因为在你的代码里,未知数是Dx,Dy,Ex,Ey,而Bx,By,Cx是字母常数,不是数字常数,Mathematica已无法把未知数表示为更为简单明了的形式了.也就是说,Mathematica给出的解答事实上已经是最简单的形式了,无法再化简了--除非你给Bx,By,Cx赋予具体的数值(你不妨试一下就知道了).因而也是完全正确的解答.

y^2+x^2=a^2 1)
w^2+z^2=b^2 2)
x=c-w 3)
y=d-z 4)
把3)、4)式代入1)式得：
(c-w)^2+(d-z)^2=a^2 5)
联立2)、5)解得：
z=(b^2+c^2+d^2-a^2)/2d-cw/d 6)
代入2)式得：
4(d^2-c^2)w^2-4c(b^2+c^2+d^2-a^2)+(b^2+c^2+d^2-a^2)^2-4b^2d^2=0
w={c(b^2+c^2+d^2-a^2)±√[(2c^2-d)(b^2+c^2+d^2-a^2)^2+4b^2d^2(d^2-c^2)]}/2
分别代入6)式解出z,代入3)式解出x,再用z的值代入4)式解出y

解四元二次方程难度很大,有些根本就没法解.
解四元二次方程一般用消元法：以一个式子为基础得出一个未知数,用另一个未知数表达的式子再代入另一个式子,再解得到的一元方程.
祝好!
有问题可以追问或者直接联系我.