已知函数f(x)＝1−xax+lnx．

（1）当a＝1时，f(x)＝
1
x+lnx−1，f′(x)＝−
1
x2+
1
x＝
x−1
x2(x＞0)，
令f′（x）=0得x=1．f′（x）＜0得0＜x＜1，f′（x）＞0得1＜x，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
故f_min（x）=f（1）=0．
（2）g(x)＝f(x)−
x
a＝
1−x
ax+lnx−
x
a.g′(x)＝−
1
ax2+
1
x−
1
a＝−
x2−ax+1
ax2．
∵g（x）在（1，2）上不单调，
∴x²-ax+1=0在（1，2）上有根且无重根．
即方程a＝x+
1
x在（1，2）有根，且无重根．
∴2＜a＜
5
2．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题考查导数研究函数的最值、单调性等问题，考查学生的转化与化归思想，求最值时候要注意研究函数的单调性，将函数的单调性问题转化为导函数的正负问题，本题又一个考点是利用分离常数法求字母的取值范围，将字母的取值范围转化为相应函数的值域问题，通过求函数的值域达到解决本题的目的．

（1）当a＝1时，f(x)＝
1
x+lnx−1，f′(x)＝−
1
x2+
1
x＝
x−1
x2(x＞0)，
令f′（x）=0得x=1．f′（x）＜0得0＜x＜1，f′（x）＞0得1＜x，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
故f_min（x）=f（1）=0．
（2）g(x)＝f(x)−
x
a＝
1−x
ax+lnx−
x
a.g′(x)＝−
1
ax2+
1
x−
1
a＝−
x2−ax+1
ax2．
∵g（x）在（1，2）上不单调，
∴x²-ax+1=0在（1，2）上有根且无重根．
即方程a＝x+
1
x在（1，2）有根，且无重根．
∴2＜a＜
5
2．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题考查导数研究函数的最值、单调性等问题，考查学生的转化与化归思想，求最值时候要注意研究函数的单调性，将函数的单调性问题转化为导函数的正负问题，本题又一个考点是利用分离常数法求字母的取值范围，将字母的取值范围转化为相应函数的值域问题，通过求函数的值域达到解决本题的目的．