四心的所有竞赛公式

如图所示

没人回答,我来回答吧.
令D为BC的中点,则OP=OA+λ(AB+AC)=OA+2λAD
于是有AP=2λAD∴点A、D、P共线,即点P的轨迹通过三角形ABC的重心．
希望被采纳哦

三角形的重心是中线的交点,垂心是高的交点,外心是外接圆的中心,内心是内切圆的中心,这些应该是公理没有证明的.

http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxslkyk-gzb200401017.aspx

内心：
OP=OA+λ(ABsinB+ACsinC)
AP=λ(ABsinB+ACsinC)
AP/(bc)=(λ/2R)(AB/c+AC/b)
即AP=m(AB/|AB|+AC/|AC|)
于是AP过△ABC内心
外心：
(OA+OB)BA=(OA+OB)(OA-OB)=OA²-OB²
同理(OB+OC)CB=OB²-OC²
(OC+OA)AC=OC²-OA²
于是OA²-OB²=OB²-OC²=OC²-OA²=k
3k=(OA²-OB²)+(OB²-OC²)+(OC²-OA²)
=0
于是k=0,得OA²=OB²=OC²
即|OA|=|OB|=|OC|

重心 （三角形三边中线交点）
充要条件：在△ABC中,O是△ABC的重心OA+OB+OC=0 （这里0是指0向量）
证明：
==>
若O是△ABC的重心
设AD,BE,CF分别为三角形三边的中线,则O为这三条中线的交点.
所以S△ABE=S三角形ABD,所以S△AOE=S△BOD.
又因为S△AOE=S△COE,S△BOD=S△COD,
所以S△COD=1/3*S△ADC,所以|OD|=1/3 |AD| （这里| |表示长度）
所以|OA|=2/3 |AD|,所以OA=2/3 DA （这里表示向量）
同理可得OB=2/3 EB OC=2/3 FC
所以OA+OB+OC=2/3（DA+EB+FC）
=2/3（DB+BA+EC+CB+FA+AC）
=2/3（DB+EC+FA）
=1/3（CB+AC+BA）
=0 #
若O是△ABC的垂心,
设AD,BE,CF分别为三角形三边的高线,则O为这三条中线的交点.
所以OA*OB=OA*（OD+DB）=OA*OD
和 OA*OB=（OE+EA）*OB=OE**OB
同理OB*OC=OB*OE=OF*OC OC*OA=OC*OF=OD*OA
所以OA*OB=OB*OC=OC*OA.#
若O是△ABC的外心,则O点为三角形三边中垂线交点,
所以|OA|=|OB|=|OC|.（由中垂线定义可得）#
若O是△ABC的内心,则O点为三角形三边中垂线交点,
所以∠BAO=∠CAO,
又因为S△ABO=1/2*|AO|*|AB|*sin∠BAO=1/2*AO*AB*cos∠BAO,
S△ACO=1/2*|AO|*|AC|*sin∠CAO=1/2*AO*AC*cos∠CAO,
所以AO*AB/|AB|=|AO|*tan∠BAO,AO*AC/|AC|=|AO|*tan∠CAO
所以AO*AB/|AB|-AO*AC/|AC|=AO*（AB/|AB|-AC/|AC|）=0
所以OA*（AB/|AB|-AC/|AC|）=0,
同理可得OB*（BA/|BA|-BC/|BC|）=0和OC*（CA/|CA|-CB/|CB|）=0
所以OA*（AB/|AB|-AC/|AC|）= OB*（BA/|BA|-BC/|BC|）=OC*（CA/|CA|-CB/|CB|）=0.#

重心是三条中线的交点.
垂心是三条高的交点.
内心是三条内角平分线的交点.
外心是三条垂直平分线的交点.

举个例子吧,A,B,C是三角形的顶点,OA+AB+OC=0(均是向量）,则o为重心.
OA*OB=OB*OC=OC*OA,则O为垂心.

把一根没有弹性的绳子 系成一个环 用一个圆规插在纸上 两脚距离小于绳子长度的一半 然后把绳子套在圆规两个脚上 用笔撑起绳套 保持把绳套拉紧 笔绕两脚转一圈 画出来就是椭圆x0d这个画法是根据椭圆定义画的 圆规的两脚就是两个焦点 绳子的长度就等于2(a+c)

先出直角系,以O为圆心画出一个圆和它的外切正方形,设正方形(四个顶点为P在左上,Q在右上,S在左下,T在右下)与y轴的上下交点为A上,B下;连一对角线P和T,再连AS交PT于M,连BQ交PT于N,以S为圆心,sorry,字数限制

∠AOF=∠C （圆心角等于圆周角的2倍）
∴ p=r·cosC
同理：m=r·cosA
n=r·cosB
∴ m：n：p=cosA：cosB：cosC

内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.
性质：到三边距离相等.
外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.
性质：到三个顶点距离相等.
重心：三条中线的交点.
性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.
垂心：三条高所在直线的交点.
性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等.

(2) 你只要知道平行四边形公式就行了,把三角形ABC补成平行四边形ABMC.
如果平行四边形两邻边长a,b,对角线长m,n,那么m^2+n^2=2(a^2+b^2)
如果这个公式不会证,那么对三角形ABM和三角形ABC分别用余弦定理并相加即可.
(6) 只要取O为坐标原点,利用(5)直接得结论.
或者利用OG=1/3*OA+2/3*OD=1/3*OA+1/3*OB+1/3*OC
(7) 可以用(5)或(6)的结论进行运算,也可以延长GD到P使得GD=DP,那么GA=PG,GC=BP,同样得到结论.

重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.