如图所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边

令CP=BM，交AC延长线于P，连接DP．
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°
又∵△ABC等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°
同理可得∠NCD=90°
∴∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°
又∵CP=BM，
∴△BDM≌△CDP
∴MD=PD
∠MDB=∠PDC
∵∠MDN=60°
∴∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°即∠MDN=∠PDN=60°
∴△NMD≌△NPD（SAS）
∴MN=PN=NC+CP=NC+BM
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2
故△AMN的周长为2．

点评：
本题考点： 相似三角形的性质．

考点点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论．

如图，过A作AB的垂线，在其上截取AK=CN=MB，连KM，KC，则
因为AM=BC，AK=BM，∠KAM=∠B=90°，
所以△KAM≌△MBC，
所以KM=CM，∠AMK=∠MCB
因为∠CMB+∠MCB=90°，
所以∠CMB+∠AMK=90°
所以∠KMC=90°
所以△KMC为等腰直角三角形，∠MCK=45°
又因为∠KAM=∠B=90°，AK=CN，
所以AK∥CN，
所以四边形ANCK是平行四边形，
所以KC∥AN，
所以∠APM=∠KCM=45°．

点评：
本题考点： 相似三角形的性质．

考点点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰直角三角形的性质等问题，能够通过作辅助线在图形之间建立联系，进而辅助解题．

∵点E、F分别是AB、BD的中点，
∴AD=2EF，
∵AD+EF=12，
∴AD=8，EF=4，
∵EG=[3/2]EF，
∴EG=[3/2]×4=6，
∵点E、G分别是AB、AC的中点，
∴BC=2EG=2×6=12，
∵AD⊥BC于点D，
∴S_△ABC=[1/2]BC×AD=[1/2]×12×8=48．

点评：
本题考点： 三角形中位线定理；三角形的面积．

考点点评： 本题主要利用三角形的中位线定理求解，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．

证明：延长CD交AB于F点．
∵AE是∠A的平分线，CD⊥AE，
∴∠FAD=∠CAD，∠ADC=∠ADF=90°．
又AD公共，
∴△ADC≌△ADF，
∴∠ACD=∠AFD．
∵∠AFC是△BCF的外角，
∴∠AFC＞∠B．
∴∠ACD＞∠B．

点评：
本题考点： 等腰三角形的判定与性质；三角形的外角性质．

考点点评： 此题考查三角形全等的判定和性质及三角形外角的性质．作出辅助线建立两角的联系是难点．

（1）证明：分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG（ASA）．
从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH（ASA），
从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．

（2）由（1）知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，
所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米，
所以BN=BC-CN=18-14=4（厘米），
MC=BC-BM=18-9=9（厘米）．
从而MN=18-4-9=5（厘米），
∴GH=[1/2]MN=[5/2]cm．

点评：
本题考点： 三角形中位线定理；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评： 说明（1）在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一（即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线）性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．
（2）“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．
（3）从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B（或∠C）及∠C（或∠B）的外角平分线”（如图1所示），或改为“∠B，∠C的外角平分线”（如图2所示），其余条件不变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．

（1）证明：分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG（ASA）．
从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH（ASA），
从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．
（2）由（1）知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，
所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米，
所以BN=BC-CN=18-14=4（厘米），
MC=BC-BM=18-9=9（厘米）．
从而MN=18-4-9=5（厘米），
∴GH=[1/2]MN=[5/2]cm．

点评：
本题考点： 三角形中位线定理；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评： 说明（1）在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一（即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线）性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．
（2）“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．
（3）从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B（或∠C）及∠C（或∠B）的外角平分线”（如图1所示），或改为“∠B，∠C的外角平分线”（如图2所示），其余条件不变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．

证明：延长CD交AB于F点．
∵AE是∠A的平分线，CD⊥AE，
∴∠FAD=∠CAD，∠ADC=∠ADF=90°．
又AD公共，
∴△ADC≌△ADF，
∴∠ACD=∠AFD．
∵∠AFC是△BCF的外角，
∴∠AFC＞∠B．
∴∠ACD＞∠B．

点评：
本题考点： 等腰三角形的判定与性质；三角形的外角性质．

考点点评： 此题考查三角形全等的判定和性质及三角形外角的性质．作出辅助线建立两角的联系是难点．

1年前

令CP=BM，交AC延长线于P，连接DP．
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°
又∵△ABC等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°
同理可得∠NCD=90°
∴∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°
又∵CP=BM，
∴△BDM≌△CDP
∴MD=PD
∠MDB=∠PDC
∵∠MDN=60°
∴∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°即∠MDN=∠PDN=60°
∴△NMD≌△NPD（SAS）
∴MN=PN=NC+CP=NC+BM
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2
故△AMN的周长为2．

点评：
本题考点： 相似三角形的性质．

考点点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论．