设lim(x->X)f(x)=∞,且x->X时,g(x)的主部是f(x)

解题思路：此题考查微分的定义以及导数与微分的关系

∵△y=y'•△x
∴△y|_{x=-1，△x=-0.1}=y′（-1）•（-0.1）
∴由已知条件：y'（-1）•（-0.1）=0.1
∴y'（-1）=-1
又y=f（x²）
∴y'=2xf'（x²）
∴y'（-1）=-2f′（1）
∴-2f'（1）=-1
∴f'（-1）=0.5
故选：D．

点评：
本题考点： 微分的定义

考点点评： 基础题，掌握微分的定义和导数的关系

1.(arctanx-tanx)/ax^k=[1/(1+x^2)-1/(cosx)^2]/akx^(k-1)=[(cosx)^2-1-x^2]/akx^(k-1)*(cosx)^2*(1+x^2)=[(sinx+x)(sinx-x)]/akx^(k-1)=1
sinx+x=2x,sinx-x=-x^3/6,(sinx+x)(sinx-x)=-x^4/3=akx^(k-1)
ak=-1/3,k-1=4
k=5,a=-1/15
主部：-x^5/15
2.记F(x)=(x^p)f(x),在(0,b)上连续,可导.
F(0)=F(b)=0
存在a属于（0,b）,使得F(X)在a点的导函数值为0
pa^(p-1)*f(a)+a^p*f'(a)=0
同除以a^(p-1)（不等于0）
pf(a)+af'(a)=0
得证

解题思路：此题考查微分的定义以及导数与微分的关系

∵△y=y'•△x
∴△y|_{x=-1，△x=-0.1}=y′（-1）•（-0.1）
∴由已知条件：y'（-1）•（-0.1）=0.1
∴y'（-1）=-1
又y=f（x²）
∴y'=2xf'（x²）
∴y'（-1）=-2f′（1）
∴-2f'（1）=-1
∴f'（-1）=0.5
故选：D．

点评：
本题考点： 微分的定义

考点点评： 基础题，掌握微分的定义和导数的关系

他的意思应该是存在一个X的邻域使那个式子成立,这就直接是保号性的推论了,保号性直观上就是说对于极限值附近的任何一个小的范围,都存在一个邻域使得函数式的变化不足以超出
只要是一个小于1的数就行
不知你的整个过程,应该是去一个方便的数而已

楼上的基本是对的,有点跳步而已
(x+sinx^2)^3
(x+[x+O(x^2)]^2)^3
(x+x^2+O(x^3))^3
(x+O(x^2))^3
x^3+O(x^4),主部为x^3
第二个
sin(x+π/6)-1/2
=sinx cos(π/6)+cosx sin(π/6)-1/2
=根号3/2 *sinx + 1/2*cosx -1/2
根号3/2 *(x+O(x^3))+1/2*(1-O(x^2))-1/2
根号3/2 *x+1/2-1/2+O(x^2)
根号3/2 *x+O(x^2),主部为 根号3/2 *x

根据导数的定义,当Δx很小时
Δy≈ f'(x0)Δx
由题意Δy≈0.8,Δx=0.2
∴f'(x0) = 4

局部保号性,是指这个关系成立是局部的,并不是整体的,既然x趋于X是fg趋于无穷,那么肯定在X的某个邻域内,fg>=a（a是任给得数）

解题思路：此题考查微分的定义以及导数与微分的关系

∵△y=y'•△x
∴△y|_{x=-1，△x=-0.1}=y′（-1）•（-0.1）
∴由已知条件：y'（-1）•（-0.1）=0.1
∴y'（-1）=-1
又y=f（x²）
∴y'=2xf'（x²）
∴y'（-1）=-2f′（1）
∴-2f'（1）=-1
∴f'（-1）=0.5
故选：D．

点评：
本题考点： 微分的定义

考点点评： 基础题，掌握微分的定义和导数的关系

0（F（x））是什么意思----------------比F(x)高阶的无穷小.

简单讲,就是√（x）-√(x/(x+1)) 与什么函数等价：
因为lim[(√(x)-√(x/(x+1))]
=lim(x^2/(x+1))/(√(x)+√(x/(x+1))
=lim[x^(3/2)/(1+x)]/(1+1/√(x+1))
所以：
lim[(√(x)-√(x/(x+1))]/x^(3/2)
=lim1/(1+x)]/(1+1/√(x+1))=1
故(√(x)-√(x/(x+1)) x^(3/2),主部是x^(3/2).
当你习惯后,就直接得x^(3/2)

数学就是这样,其实应该记住原理这样就会容易弄懂些,但是往往原理是很麻烦的,而且在我们的应用中也不会用到,通常记不住,所以我觉得应该记住怎么去用一个定理就可以了,因为我在应用中只是用它就足够了,多捉摸定理在做题时是怎么用,至于老师没讲明白的地自己多看看,我觉得是老师有问题,自己怕麻烦或者是自己也不是很明白,或者是不怎么考所以就不多讲了,一般比较难的东西都不容易考,不考的东西,老师都不会浪费太多的时间

不是,反例是：
f(x)=e^(-1/x^2),x不为0.
0,x=0.
此时f(x)在x=0的各阶导数都是0.
但它不能展成x=0处的Taylor级数.
否则的话f(x)=0,矛盾.

0,求无穷小(1-cosx+sin3x)的主部
∵x➔0lim[(1-cosx+sin3x)/sin3x]=x➔0lim[(sinx+3cos3x)/(3cos3x)]=1
∴sin3x∽(1-cosx+sin3x),故sin3x是(1-cosx+sin3x)的主部.(两个等价无穷小互为主部).
也可以这样求：
x➔0lim[(1-cosx+sin3x)-sin3x]/sin3x=x➔0lim(1-cosx)/sin3x=x➔0lim[sinx/(3cos3x)]=0
故x➔0时无穷小sin3x是无穷小(1-cosx+sin3x)的主部.

温馨提示
一：1,1/2,1/3…,1/n,…
二：1,2,1/3,..1/n,…
三：1,1,3^2,..1/n,…
n：1,1,..n^(n-1),…
每个都是无穷小,只有前面的有限项异常,算对应乘积
（第无穷个数列找不出具体的．）