正数X,Y间插入一个数a,使X,a,Y成等差数列,插入两个数b,c.X,b,c,Y成等比数列,证（a+1)*(a+1)>

由分析可知，自然数都是正数，说法错误，
故答案为：×

点评：
本题考点： 自然数的认识；负数的意义及其应用．

考点点评： 此题考查了自然数的含义．

根据分析，可得
所有的负数都在0的左边，也就是负数都比0小，而正数都比0大．负数都比正数小，0不是正数也不是负数．
故答案为：左、小、大、小、0．

点评：
本题考点： 正、负数大小的比较．

考点点评： 此题主要考查了正、负数、0的大小比较．

设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比等于q，
∵S_n=2，S_3n=14，∴q≠1
∴
a1(1-qn)
1-q=2，
a1(1-q3n)
1-q=14，解得 qⁿ=2，
a1
1-q=-2．
∴S_4n =
a1
1-q（1-q⁴ⁿ）=-2（1-16）=30，
故选B．

点评：
本题考点： 等比数列的前n项和；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

由题设知a²-8b≥0，4b²-4a≥0．
则a⁴≥64b²≥64a，
∵a，b是正数，
∴a³≥64，
∴a≥4，b²≥a≥4．
∴a²+b²≥20．
又∵当a=4，b=2时，抛物线y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都与x轴有公共点，
∴a²+b²的最小值是20．
故答案为：20．

点评：
本题考点： 函数最值问题．

考点点评： 本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点问题，解答此题的关键是熟知根据△判断抛物线与x轴的交点问题及不等式的基本性质．

由题设知a²-8b≥0，4b²-4a≥0．
则a⁴≥64b²≥64a，
∵a，b是正数，
∴a³≥64，
∴a≥4，b²≥a≥4．
∴a²+b²≥20．
又∵当a=4，b=2时，抛物线y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都与x轴有公共点，
∴a²+b²的最小值是20．
故答案为：20．

点评：
本题考点： 函数最值问题．

考点点评： 本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点问题，解答此题的关键是熟知根据△判断抛物线与x轴的交点问题及不等式的基本性质．

由题设知a²-8b≥0，4b²-4a≥0．
则a⁴≥64b²≥64a，
∵a，b是正数，
∴a³≥64，
∴a≥4，b²≥a≥4．
∴a²+b²≥20．
又∵当a=4，b=2时，抛物线y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都与x轴有公共点，
∴a²+b²的最小值是20．
故答案为：20．

点评：
本题考点： 函数最值问题．

考点点评： 本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点问题，解答此题的关键是熟知根据△判断抛物线与x轴的交点问题及不等式的基本性质．

（Ⅰ）∵2S_n=3a_n-3，
∴2S_n-1=3a_n-1-3，n≥2
两式相减，得：2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，n≥2，
∴{a_n}是公比为3的等比数列，
∵2S₁=3a₁-3，
∴a₁=3，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ．
（Ⅱ）∵an=3n，
∴b_n=
1
log3an•log3an+1
=
1
n(n+1)
=
1/n-
1
n+1]，
∴T_n=1-[1/2+
1
2-
1
3]+…+[1/n-
1
n+1]
=1-[1/n+1]
=[n/n+1]．

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意迭代法和裂项求和法的合理运用，是中档题．