x平方+5x+6=(x+3)(x+几)

设x^2+6为a,有(a+5x)(a+7x)-3x^2
整理,得a^2+15ax+33x^2
十字相乘法得(a+3x)(a+11x)
复原得 (x^2+3x+6)(x^2+11x+6)

y=(x+1)/(x²+5x+6)
设x+1=t>0,那么x=t-1
∴y=t/[(t-1)²+5(t-1)+6]
=t/(t²+3t+2)
取倒数
1/y=t+2/t+3
∵t>0
∴t+2/t≥2√(t*2/t)=2√2
当且仅当t=2/t,t=√2时取等号
∴1/y≥3+2√2
∴y≤1/(3+2√2)=3-2√2
即y的最大值为3-2√2

f(x)=(ax+b)/(cx^2+dx+e)型有时可利用均值不等式求最值
注意凑项技巧
y=(x+1)/(x^2+5x+6)=（x+1)/[(x+1)(x+4)+2]=1/[x+4+2/(x+1)]=1/[x+1+2/(x+1)+3]
这样就凑出了均值不等式的形式,x>-1,所以x+1>0,x+1+2/(x+1)+3≥2√（x+1）*[2/(x+1)]+3=2√2+3,y=1/[x+1+2/(x+1)+3]≤1/（2√2+3）=3-2√2
函数的最大值就是3-2√2
我再以这个题为例说说凑项方法
分子一次型:x+1,分母二次型x^2+5x+6,我们的目标是把x^2+5x+6拆成(x+1)*一次式+常数的形式,这个一次式的确定很关键,把它记为px+q,常数为c,有(x+1)*(px+q)+c=x^2+5x+6,由二次项系数为1很容易观察出p=1,一次项系数5=p+q,则q=4,这样显然c=2,接着把分子除下来,用不等式就水到渠成了

==（x平方+5x+4)(x平方+5x+6)+1 ==（x平方+5x+4)【(x平方+5x+4)+2】+1 =拆开就是了