圆的五心分别是怎么定义?

重心：中线交点
内心：角分线交点
外心：垂直平分线交点
垂心：垂线交点
旁心：一条内角平分线和两条外角平分线的交点

其实这样的题目是没意义的题.

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三角形五心的具体学习要等到高中才进行,因为其中包括向量等初中不涉及的知识.但是如果您要参加全国规模的竞赛,那么五心也是重点的内容

重心,----9x²／a²＋9y²／b²＝1
内心,
外心---x²＋y²=a²
垂心
旁心
先写两个简单的.晚会做出了,再发.你是手机步骤打不下.

内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.
其中2是充要条件.仅供参考.
这些性质都是可以直接用的啊.

我会耶!
1.内心.指三条内角平分线相交的点,在三角形中只有一点,到三角形三边的距离相等,以这点为圆心,到一边的距离为半径,作的圆与三边相切.
2.旁心.指三角形两条外角平分线与另外一条内角平分线的交点.在三角形中有四个,到三角形三边所在直线的距离相等,以这点为圆心,到一边所在直线的距离为半径,作的圆与三边所在直线相切.
3.重心.指三条中线相交的点,在三角形中只有一点,是每条中线的三等分点.
4.垂心.指三条高线相交的点,在三角形中只有一点.锐角三角形垂心在三角形内,直角三角形垂心在直角顶点,钝角三角形垂心在三角形外.
5.外心.指三边中垂线（垂直平分线）相交的点,在三角形中只有一点.锐角三角形外心在三角形内,直角三角形外心在斜边中点,钝角三角形外心在三角形外.

重心三条边的中线交点
外心三条边的垂直平分线交点
内心三个角的平分线交点
垂心三条边上的高的交点
旁心三角形旁切圆的圆心叫做三角形的旁心

首先求三边的长
a=√[(x2-x3)²+(y2-y3)²],b=√[(x1-x3)²+(y1-y3)²],c=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
然后设
Ka= -a²+b²+c²,Kb= -b²+a²+c²,Kc= -c²+a²+b²
重心坐标
x重=(x1+x2+x3)/3
y重=(y1+y2+y3)/3
内心坐标
x内=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c)
y内=(ay1+by2+cy3)/(a+b+c)
垂心坐标
x垂=(x1/Ka+x2/Kb+x3/Kc)/(1/Ka+1/Kb+1/Kc)
y垂=(y1/Ka+y2/Kb+y3/Kc)/(1/Ka+1/Kb+1/Kc)
外心坐标
x外=(a²Kax1+b²Kbx2+c²Kcx3)/(a²Ka+b²Kb+c²Kc)
y外=(a²Kay1+b²Kby2+c²Kcy3)/(a²Ka+b²Kb+c²Kc)
旁心坐标
x旁1=(-ax1+bx2+cx3)/(-a+b+c)
y旁1=(-ay1+by2+cy3)/(-a+b+c)
x旁2=(ax1-bx2+cx3)/(a-b+c)
y旁2=(ay1-by2+cy3)/(a-b+c)
x旁3=(ax1+bx2-cx3)/(a+b-c)
y旁3=(ay1+by2-cy3)/(a+b-c)

内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.
.

以下皆是向量 1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）
3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|² （AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞） 或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

你的三个结果中.内心、垂心是对的,重心,虽然对,但是麻烦了,注意
|AB|sinB＝|AC|sinC＝BC上的高,可以用：
OP＝OA+λ（AB+AC） λ≥0
P点轨迹过外心：
OP＝OA+AB/2+λ[CA/（}CA|cosA）+CB／（|CB|cosB）] [方法同垂心,后面的[]是AB上的高,λ是实数,P的轨迹就是AB的中垂线,经过外心.]
P点轨迹过A所对的旁心：
OP=OA+λ（AB/|AB|+AC/|AC|）.λ∈[0,+∞）[与你的第一个式子完全一样
∠A的平分线,过内心,也过A所对的旁心.]

1.内心：设I为三角形的内心,BC=a,AC=b,AB=c,角A的平分线交BC于D,交ABC的外接圆于K,则AI/ID=AK/KI=IK/KD=b+c/a
利用性质：KI=KB=KC 还有相似三角形,角平分线定理即可搞定
2.外心：设三角形ABC的三条边长,外接圆半径,面积分别为a,b,c,R,S,则R=abc/4S
正弦定理啊...面积公式S=1/2absinC sinC=c/2R
3.重心：GA^2+GB^2+GC^2最小..这个用解析法可以..还可以用复数,向量..
都是配方法...纯几何不知道
4.垂心：三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.
证明Euler线要用到的经典辅助线啊...
5.旁心：三角形ABC是三角形DEF的垂足三角形,且三角形DEF的外接圆半径R等于三角形ABC的直径2r（D.E.F为旁心）
去看看九点圆定理
6.设O,G,H,I分别为三角形ABC的外心,重心,垂心和内心,R,r分别为外接,内切圆半径,则
IO^2=R^2-2Rr(欧拉公式）
r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
第一个用圆幂定理+三角表示..两三步搞定
第二个用面积公式..再和差化积积化和差整理得

内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.
其中2是充要条件.仅供参考.
这些性质都是可以直接用的啊.

一、问题的提出
我们已学完三角形和判断三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL。并且还知道三角形有5个心：重心，垂心，内心，外心，旁心。及其他们的定理：例如重心， 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心，三角形的三条高交于一点。那么我们不禁思考：有没有一个三角形三条中线不交于一点？有没有一个三角形的重心到顶点的距离不是它到对边中点距离的2倍呢？有没有三角形违背另外四个心的定理呢？这一切将通过下面的探讨与研究和证明，从而解决这些问题。
二、具体的实例的证明
重心:求证：三条中线交于一点
连接DE
DE//BC（中位线平行于底边）
假设目前只知道BE和DC两条中线。
AO交DE于G
∠ADE=∠B（两线平行同位角相等）
DE//BC（中位线平行于底边）
∠AED=∠ACB（两线平行同位角相等）
△ADE相似于△ABC
F是中点那么G就是中点
再连接HI使其穿过O点
△AHI与△ADE中：
∠AHI=∠ADE
∠AIH=∠AED
∠A=∠A
因此△AHI与△ADE相似
因此O为HI中点
所以F为BC中点
即三条中线交于1点
求证：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍？
证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心
做BG中点H，GC中点I
∴HI为△GBC的中位线
∴HI//BC,且 2HI=BC
同理：FE是△ABC中位线
∴FE//BC,且 2FE=BC
∴FE//HI,且 FE=HI
∴四边形FHIE是平行四边形
∴HG=GE
又H为BG的中点
∴HG=BH
∴HG=BH=GE
∴2GE=BG
∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍
垂心:设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。HA=a，HB=b，HC=c。
因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以HA·BC=0，HB·CA=0，
即a·(c-b)=0，
b·(a-c)=0，
亦即
a·c-a·b=0
b·a-b·c=0
两式相加得
c·(a-b)=0
即HC·BA=0
故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。
内心:
己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O；
求证：
△ABC角平分线交于点O。
证明：∵点O在∠A的角平分线上，
∴O到AB的距离与O到AC的距离相等；
同理可证：O到BC的距离与O到BA的距离相等。
根据等量代换，可知O到AC与O到BC的距离相等，
又∵AC和BC为∠C的边，因此点O在∠C的角平分线上。
∵O为△ABC中，∠A、∠B、∠C角平分线上的点。
求证:OI=OG=OH
∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6(角平分线)
在△AOI与△AOH中:
AO=AO(公共边)
∠1=∠2(角平分线)
∠AIO=∠AHO(垂直于对应边)
∴△AIO全等于△AHO(AAS)
∴OI=OH(两个三角形全等,三边对应等)
在△COH与△COG中:
AO=AO(公共边)
∠1=∠2(角平分线)
∠COH=∠COG(垂直于对应边)
∴△COH全等于△COG(AAS)
∴OG=OH(两个三角形全等,三边对应等)
外心:
证明:AD=BD=CD
在△AFO与△BFO中:
AF=BF
FO=FO
∠AFO=∠BFO(垂直平分线)
∴△AOF全等于△FOB(SAS)
∴AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)
在△AOE与△ECO中:
AE=EC
EO=EO
∠AEO=∠CEO(垂直平分线)
∴△AOE全等于△COE(SAS)
∴AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)
∵AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)
∴AO=BO=CO
即O为△ABC的外接圆的圆心
证明:三条垂直平分线的延长线交于一点,即GO,CO,EO交于一点.
先做一条与BC平行的穿过O的线段,命名为IH.且HI为△ABC的外接圆的直径.
现在,FO与EO已相交于O点
∵HI//BC(已知)
∵GD⊥BC且D为BC中点
∴GO⊥HI且O为HI中点,即为外接圆的圆心,也就是GO与CO,EO交于O点
旁心:
证明:EO=FO=DO
在△ADO与△AFO中:
∠AFO=∠ADO
∠DAO=∠FAO(角平分线)
AO=AO(公共边)
∴△ADO与△AFO全等
∴DO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
在△FCO与△CEO中:
∠CFO=∠ACEO
∠ECO=∠FCO(角平分线)
CO=CO(公共边)
∴△FCO与△CEO全等
∴EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
∵EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵EO=DO(两个三角形全等,三边对应等)
∴EO=FO=DO

执行标准：GB /T12706.1-2008或 IEC 60502
VV 0.6/1KV 5*25 电缆参考重量：1.778kg/m;
vv22 0.6/1kv 5*25 电缆参考重量：2.143kg/m;
YJV 0.6/1KV 5*25 电缆参考重量：1.553kg/m;
YJV22 0.6/1KV 5*25 电缆参考重量：1.871kg/m.

“内心”:三角形内切圆的圆心,也就是三条角平分线的交点
“外心”:三角形外接圆的圆心
“重心”:三角形三条中线的交点
“垂心”:三角形三条高线的交点
“中心”这个说法不对,其实就是重心

“五心”意为“忠心,爱心,关心,孝心,信心”.
“五心”即“爱心、信心、细心、耐心、恒心”.
　　“爱心献祖国,学会尊重；热心献社会,学会理解；孝心献父母,学会感恩；关心献他人,学会合作；信心留自己,学会创造”.

高一数学题：设a ,b ,c 为三角形三边,A,B,C是三个顶点,证明：a^2=b(b+c)是A=2B的充要条件.

三角形五心定理
三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心.三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称.
编辑本段
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单.（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名）
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3.
编辑本段
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心.
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心.
2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).
5、外心到三顶点的距离相等
编辑本段
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点,该点叫做三角形的垂心.
垂心的性质：
1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.
定理证明
已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证：CF⊥AB
证明：
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此,垂心定理成立!
编辑本段
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心.
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.
3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
编辑本段
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心,叫做三角形的旁心.
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心.
2、每个三角形都有三个旁心.
3、旁心到三边的距离相等.
如图,点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外.
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一.

亲爱的爸爸妈妈：
您们好!
早就想给您们写信了,正好借此信与您们沟通一下.
早上起床,空气中略带着寒意,桌上已摆着热气腾腾的早餐了,其中蕴涵了您们深沉的爱,我是否曾经感恩?您们任劳任怨,每当我遇到困难时,您们总在身边默默地支持我、帮助我,我感恩了吗?当我生病时,您们一手拿着药,焦虑地站在床边……
拥有关心我的亲人,我却抱怨他们太过唠叨.我似乎忘却了,忘却了曾经失意时,能有人鼓励,哪怕只有一句,我也会感恩；忘记了曾经无助时,有人关心,哪怕只有一点,我同样会感恩……
在现代生活的快节奏中,我们一味地学习,无暇去感恩.我们需要得到提醒,不应该把感恩置于遗忘的角落.生活不如意之事十有八九,何不以一种积极的态度、一颗感恩的心去品味生活、去享受每一天灿烂的阳光? 感谢您们,您们创造了生命,也守护着生命,给予了我无比的快乐.当我犯了错误的时候,您们会惩罚我,给我一个深刻的教训.您们寄予我期望,希望我好好学习,将来成为一位对社会有贡献的人,才会严格要求. 您们犹如大海——生命的乐土,而我需要细细地体会,静静地聆听,深深地感恩.
我会在每一个感恩节、父亲节、母亲节给您们送上衷心的祝福,并在每天以一颗感恩的心去品味生活.
祝您们
身体健康!
新年快乐!
您们的女儿
2006年11月24日

重心 三角形三条中线的交点
性质：分三条中线比为2:1
内心 三角形三条角平分线的交点
性质：到三边距离相等
垂心 三角形三条高的交点
性质：没有
外心 三角形三边中垂线的交点
性质：到三顶点距离相等
旁心 三角形两个外角平分线与第三内角平分线交点
通常在三角形外
性质：到三边距离相等
中心只有正三角行有,就是关于中心对称

内心：3个角内角平分线交点
外心：3条边的中垂线交点
重心：3条中线交点
垂心：从3个顶点向3边作出的垂线的交点
旁心：2条外角平分线和一条内角平分线交点

内心,外心,重心,垂心,旁心
内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.

重心 三条中线(顶点到对边中点连线)的交点
垂心 三条高(顶点到对边的垂线)的交点
内心 三条内角平分线的交点
外心 三边中垂线的交点
旁心 一内角平分线和另两角外角平分线的交点

五心是指：内心、外心、旁心、重心、垂心
1.内心.指三条内角平分线相交的点,在三角形中只有一点,到三角形三边的距离相等,以这点为圆心,到一边的距离为半径,作的圆与三边相切.
2.外心.指三边中垂线（垂直平分线）相交的点,在三角形中只有一点.锐角三角形外心在三角形内,直角三角形外心在斜边中点,钝角三角形外心在三角形外.
3.旁心.指三角形两条外角平分线与另外一条内角平分线的交点.在三角形中有四个,到三角形三边所在直线的距离相等,以这点为圆心,到一边所在直线的距离为半径,作的圆与三边所在直线相切.
4.重心.指三条中线相交的点,在三角形中只有一点,是每条中线的三等分点.
5.垂心.指三条高线相交的点,在三角形中只有一点.锐角三角形垂心在三角形内,直角三角形垂心在直角顶点,钝角三角形垂心在三角形外.

1.内心.指三条内角平分线相交的点,在三角形中只有一点,到三角形三边的距离相等,以这点为圆心,到一边的距离为半径,作的圆与三边相切.2.旁心.指三角形两条外角平分线与另外一条内角平分线的交点.在三角形中有四个,到三角形三边所在直线的距离相等,以这点为圆心,到一边所在直线的距离为半径,作的圆与三边所在直线相切.3.重心.指三条中线相交的点,在三角形中只有一点,是每条中线的三等分点.4.垂心.指三条高线相交的点,在三角形中只有一点.锐角三角形垂心在三角形内,直角三角形垂心在直角顶点,钝角三角形垂心在三角形外.5.外心.指三边中垂线（垂直平分线）相交的点,在三角形中只有一点.锐角三角形外心在三角形内,直角三角形外心在斜边中点,钝角三角形外心在三角形外.

每个人对任何人、物、事都会有一个故事,也会在其中吸取更多的教训和经验,甚至会改变自己的看法.而我却让一本普普通通的书,改变了我对它的看法.
曾经的我是个小电视迷,也是一个调皮蛋,而书则是我的“敌人”.因为我认为书是淡而无味的,只有电视剧是五彩缤纷的,无拘无束才是人生的目标.可爸爸妈妈却硬逼着我一天到晚的看那种无聊透的课外书.所以我每次看书都是心不在焉.
在一个忙碌的周末,爸爸妈妈不在家,这正如我所愿.
我找来几个小伙伴,一起来到一个茅草房底下,那是一个幽静的地方.当然,选择这个地方我们就可以无拘无束了.我们先是捉迷藏,可都怪我太贪吃了,居然想到了我最喜欢的烤地瓜.于是,我和小伙伴商量在这里烤地瓜.也许是因为我们玩得太起劲了,肚子都有点饿了,没有一个人反对,而且都拍手叫好.
一切材料都准备好了,只差“主人公”——地瓜.我们在田里偷了几个地瓜,然后这场祸事就开幕了.
起初,倒还顺利.可是,忽然刮来一阵风,火苗子一下子飞到了茅草上,茅草一下子着了起来.
我们吓得措手不及,有好几个小伙伴吓得都哭了.
时间一点点过去,火苗子也渐渐长大了.我们想到了用水灭火,可我们身边没有河,怎么办呢?这时,我才想起我曾看过的一本书,书上说,如果失火,需及时用水或沙子扑灭.
沙子!刚好旁边有一堆沙子,我建议大家用沙子试试.我们动用了自己的外套,用沙子去灭火.幸好,火势不大,几桶沙就搞定了.
从此以后,我就变成了一个捧着书本的女孩.
这就是我与书的故事,在这个故事中,有我最调皮、最机灵的一面,也有我和我的“敌人”握手言和的一面

这都是有公式的,O是三角形所在平面内一点,则(省去向量2字)：
1 O是重心,即三边中线的交点：OA+OB+OC=0,反之亦然.
2 O是外心,即三边中垂线交点,亦即外接圆圆心：
sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0,反之亦然.
3 O是内心,即三角平分线交点,亦即内切圆圆心：
sinAOA+sinBOB+sinCOC=0,反之亦然.
4 O是垂心,即三边高的交点：tanAOA+tanBOB+stanCOC=0,反之亦然.
5 旁心稍微不同,因为旁心有3个：
sinBOB+sinCOC=sinAOA,sinAOA+sinCOC=sinBOB,sinAOA+sinBOB=sinCOC

重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.
二、具体的实例的证明
重心:求证：三条中线交于一点
连接DE
DE//BC（中位线平行于底边）
假设目前只知道BE和DC两条中线.
AO交DE于G
∠ADE=∠B（两线平行同位角相等）
DE//BC（中位线平行于底边）
∠AED=∠ACB（两线平行同位角相等）
△ADE相似于△ABC
F是中点那么G就是中点
再连接HI使其穿过O点
△AHI与△ADE中：
∠AHI=∠ADE
∠AIH=∠AED
∠A=∠A
因此△AHI与△ADE相似
因此O为HI中点
所以F为BC中点
即三条中线交于1点
求证：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍?
证明：如图：△ABC中D为BC中点,E为AC中点,F为AB中点,G为△ABC重心
做BG中点H,GC中点I
∴HI为△GBC的中位线
∴HI//BC,且 2HI=BC
同理：FE是△ABC中位线
∴FE//BC,且 2FE=BC
∴FE//HI,且 FE=HI
∴四边形FHIE是平行四边形
∴HG=GE
又H为BG的中点
∴HG=BH
∴HG=BH=GE
∴2GE=BG
∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍
垂心:设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.HA=a,HB=b,HC=c.
因为AD⊥BC,BE⊥AC,
所以HA·BC=0,HB·CA=0,
即a·(c-b)=0,
b·(a-c)=0,
亦即
a·c-a·b=0
b·a-b·c=0
两式相加得
c·(a-b)=0
即HC·BA=0
故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H.
内心:
己知：在△ABC中,∠A与∠B的角平分线交于点O；
求证：
△ABC角平分线交于点O.
证明：∵点O在∠A的角平分线上,
∴O到AB的距离与O到AC的距离相等；
同理可证：O到BC的距离与O到BA的距离相等.
根据等量代换,可知O到AC与O到BC的距离相等,
又∵AC和BC为∠C的边,因此点O在∠C的角平分线上.
∵O为△ABC中,∠A、∠B、∠C角平分线上的点.
求证:OI=OG=OH
∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6(角平分线)
在△AOI与△AOH中:
AO=AO(公共边)
∠1=∠2(角平分线)
∠AIO=∠AHO(垂直于对应边)
∴△AIO全等于△AHO(AAS)
∴OI=OH(两个三角形全等,三边对应等)
在△COH与△COG中:
AO=AO(公共边)
∠1=∠2(角平分线)
∠COH=∠COG(垂直于对应边)
∴△COH全等于△COG(AAS)
∴OG=OH(两个三角形全等,三边对应等)
外心:
证明:AD=BD=CD
在△AFO与△BFO中:
AF=BF
FO=FO
∠AFO=∠BFO(垂直平分线)
∴△AOF全等于△FOB(SAS)
∴AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)
在△AOE与△ECO中:
AE=EC
EO=EO
∠AEO=∠CEO(垂直平分线)
∴△AOE全等于△COE(SAS)
∴AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)
∵AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)
∴AO=BO=CO
即O为△ABC的外接圆的圆心
证明:三条垂直平分线的延长线交于一点,即GO,CO,EO交于一点.
先做一条与BC平行的穿过O的线段,命名为IH.且HI为△ABC的外接圆的直径.
现在,FO与EO已相交于O点
∵HI//BC(已知)
∵GD⊥BC且D为BC中点
∴GO⊥HI且O为HI中点,即为外接圆的圆心,也就是GO与CO,EO交于O点
旁心:
证明:EO=FO=DO
在△ADO与△AFO中:
∠AFO=∠ADO
∠DAO=∠FAO(角平分线)
AO=AO(公共边)
∴△ADO与△AFO全等
∴DO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
在△FCO与△CEO中:
∠CFO=∠ACEO
∠ECO=∠FCO(角平分线)
CO=CO(公共边)
∴△FCO与△CEO全等
∴EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
∵EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵EO=DO(两个三角形全等,三边对应等)
∴EO=FO=DO

内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.
其中2是充要条件.仅供参考.

数学的五心：重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心; 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合,称为正三角形的中心.

五心?
内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.