在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是△ABC内切圆圆心，设P是⊙D外的三角形ABC区域内的动点，若CP＝

（1）连接OD，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90°，
设圆O的半径长为a，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，
∴OD∥AC，AB=
22+22=2
2，∠B=∠CAB=45°
∴OB=2
2-a，∠DOB=∠B=45°
∴2a²=（2√2-a）²
解得：a₁=4-2
2，a₂=-2
2-4，
∵a＞0，
∴a=4-2
2
即⊙O半径长为4-2
2．

（2）连EO，
∵四边形OAED为菱形，
∴AE=AO，
∵AO=EO，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AEO=60°
同理△EOD是等边三角形，
∴∠OED=∠ODE=60°，
∵∠ODC=90°，
∴∠EDC=30°，
∵∠C=90°，
∴ED=2EC，
∵ED=4-2
2，
∴CE=2-
2，
∴CD=
3CE=2
3-
6．

点评：
本题考点： 切线的性质；菱形的性质．

考点点评： 本题考查了解直角三角形，切线的性质，等腰直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．

（Ⅰ）∵A₁D⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴A₁D⊥BC；
又∵BC⊥AC，且A₁D∩AC=D，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁；①
又∵四边形A₁ACC₁为菱形，
∴A₁C⊥AC₁；②
由①②得，AC₁⊥平面A₁BC，
且A₁B⊂平面A₁BC，
∴AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）∵D是线段AC的中点，∴[AD
A1C1＝
1/2]，
∴[AM
MC1＝
1/2]，即
C1M
C1A＝
2
3；
∴V三棱锥C1−MBC=V三棱锥C1−ABC-V_{三棱锥M-ABC}
=3V_{三棱锥M-ABC}-V_{三棱锥M-ABC}=2V_{三棱锥M-ABC}
=2×[1/3]×S_△ABC•MD
又S△ABC＝
1
2×2×2＝2，
MD＝
1
3×A1D＝
1
3×
3＝

3
3；
∴V三棱锥C1−MBC=2×[1/3]×2×

3
3=[4/9]

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，也考查了计算空间几何体的体积的问题，是中档题．

（Ⅰ）证明：因为A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D
所以平面A₁ACC₁⊥平面ABC
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面A₁ACC₁∴BC⊥AC₁
∵AC₁⊥BA₁且BC₁∩BA₁=B
∴AC₁⊥平面A₁BC
（Ⅱ）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系
∵AC₁⊥平面A₁BC∴AC₁⊥A₁C
∴四边形A₁ACC₁是菱形∵D是AC的中点
∴∠A₁AD=60°∴A（2，0，0）A₁（1，0，
3）
B（0，2，0）C₁（-1，0，
3）
∴

A1A=（1，0，
3）

AB=（-2，2，0）
设平面A₁AB的法向量

n=（x，y，z），则

x＝
3z
x＝y，令z=1，
∴

n=（
3，
3，1）
∵

C1A1=（2，0，0）∴d＝
|

C1A1.

n|
|

n|＝
2
21
7
∴C₁到平面A₁AB的距离为
2
21
7
（Ⅲ）平面A₁AB的法向量

n=（
3，
3，1），平面A₁BC的法向量

AC1=（-3，0，
3）
∴cos＜

AC1，

n＞＝


AC1.

n
|

AC1||

n|＝−

7
7，
设二面角A-A₁B-C的平面角为θ，θ为锐角，
∴cosθ＝

7
7
即二面角A-A₁B-C的余弦值为

7
7

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求平面间的夹角．

考点点评： 本题考查线面垂直的证明，点到面距离的求法，二面角的求法，由解题过程可以看出，用向量法求点到面的距离，求二面角是一个很实用的方法，解题中要善于运用，在求解此类题时，求面的法向量是一个重点，要学会怎么赋值．

过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，
此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理可得DC′=
BC′2+BD2=
22+12＝
5．
故答案为：
5．

点评：
本题考点： 轴对称-最短路线问题．

考点点评： 此题考查了线路最短的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．

证明：（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，
因为A₁D⊥底ABC，所以A₁D⊥BC，
因为A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，
所以BC⊥AC₁，
因为BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，
所以AC₁⊥底A₁BC
（II）由（I）知AC₁⊥A₁C，ACC₁A₁为菱形，
∴∠A₁AC=60°AA₁=AC=A₁C=2，
又CE=EA，故△A₁AE≌△A₁CE．
作AF⊥A₁E于F，连CF，则CF⊥A₁E，
故∠AFC为二面角A-A₁E-C的平面角，
∵A1E＝
A1D2+DE2＝2，AF＝CF＝
AE•
AA12−(
AE
2)2
A1E＝

7
4
∴cos∠AFC＝
AF2+CF2−AC2
2AF•CF＝−
1
7．
故二面角B-A₁E-C余弦值的大小[1/7]．

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查了线面垂直的判定，以及面面角等有关知识，同时考查了数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题

过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，
此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理可得DC′=
BC′2+BD2=
22+12＝
5．
故答案为：
5．

点评：
本题考点： 轴对称-最短路线问题．

考点点评： 此题考查了线路最短的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．

（1）∵A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥BA₁且BC∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵AC₁⊥平面A1BC，
∴AC₁⊥A₁C，
∴四边形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中点，
∴∠A₁AD=60°，
∴A（2，0，0），A₁（1，0，
3），B（0，2，0），
C₁（-1，0，
3），C（0，0，0），B₁（0，2，
3），
∴

A1A=（1，0，-
3），

AB=（-2，2，0），

CB1=(0，2，
3)，
设平面A₁AB的法向量

n=（x，y，z），
则

n•

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．

（I）证明：因为A1D⊥平面ABC，所以平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，得BC⊥AC1，又BA1⊥AC1所以AC1⊥平面A1BC；（4分）（II）因为AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，故AA1=AC=2，又D为AC中点，...

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

（1）证明：在Rt△ABC中，M是AB的中点，且AC=BC，∴CM=12AB=BM，∠MCA=∠B=45°，CM⊥AB，而∠BMD=90°-∠DMC，∠EMC=90°-∠DMC．∴∠BMD=∠EMC．△BDM≌△CEM（ASA）．∴MD=ME．（2）∵△BDM≌△CEM，∴S四边形DME...

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了三角形全等的判定和性质；两个角在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明，应注意需注意已证得条件在以后证明中的应用．

（I）证明：因为A₁D⊥平面ABC，所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，
得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁
所以AC₁⊥平面A₁BC；（4分）
（II）因为AC₁⊥A₁C，所以四边形AA₁C₁C为菱形，
故AA₁=AC=2，又D为AC中点，知∠A₁AC=60°．
取AA₁中点F，则AA₁⊥平面BCF，从而面A₁AB⊥面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF中，BC＝2，CF＝
3，故CH＝
2
21
7，
即CC₁到平面A₁AB的距离为CH＝
2
21
7（9分）
（III）过H作HG⊥A₁B于G，连CG，则CG⊥A₁B，
从而∠CGH为二面角A-A₁B-C的平面角，
在Rt△A₁BC中，A₁C=BC=2，所以CG＝
2，
在Rt△CGH中，sin∠CGH＝
CH
CG＝

42
7，
故二面角A-A₁B-C的大小为arcsin

42
7．（14分）

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．