上半球面0≤z≤√a²-x²-y²与圆柱体x²+y²≤ax(a>0)的

设细杆对两球的弹力大小为T，小球a、b的受力情况如图所示，
其中球面对两球的弹力方向指向圆心，即有cos α=


2R
2
R=

2
2
解得：α=45°
故F_Na的方向为向上偏右，即β₁=[π/2]-45°-θ=45°-θ
F_Nb的方向为向上偏左，即β₂=[π/2]-（45°-θ）=45°+θ
两球都受到重力、细杆的弹力和球面的弹力的作用，过O作竖直线交ab于c点，设球面的半径为R，由相似三角形可得：
mag
OC=
FNa
R

mbg
OC=
FNb
R
解得：F_Na=
3F_Nb；
取a、b及细杆组成的整体为研究对象，由平衡条件得：水平方向上有：
F_Na•sin β₁=F_Nb•sin β₂
即 F_Na•sin（45°-θ）=F_Nb•sin（45°+θ）
解得：θ=15°．
故选D．

点评：
本题考点： 共点力平衡的条件及其应用；力的合成与分解的运用．

考点点评： ①利用平行四边形（三角形）定则分析物体的受力情况属于常见方法，掌握好这种方法的关键在于深刻地理解好“在力的图示中，有向线段替代了力的矢量”
②在理论上，本题也可用隔离法分析小球a、b的受力情况，根据正交分解法分别列平衡方程进行求解，但是求解三角函数方程组时难度很大．故本题采用了水平向上由整体列平衡方程求解的方法．

（1）①因为光线沿半径方向射入，所以入射光线过球心O，O点为入射点．过O点作玻璃砖下表面垂线即法线，根据光的反射定律作出反射光线．
②该反射光线再由玻璃射出时，其光线垂直玻璃砖的圆弧表面入射（就像入射光线AO一样），光的传播方向不变，不发生折射．
③光线AO从玻璃斜射入空气时，折射角大于入射角，折射光线更远离法线．如图所示：
（2）踩下汽车踏板时，脚会对刹车踏板就会施加一个和踏板垂直向下的力F₁，作用点在踏板上；过支点O做力F₁的垂线段，用双箭头标出这段距离，记为L₁，就是动力臂；如下图所示：
（3）如图所示：

点评：
本题考点： 作光的反射光路图；力臂的画法；作光的折射光路图；串、并联电路的设计．

考点点评： （1）画光路图时，不管是作反射光线还是作折射光线，都要先把法线画出来．注意法线用虚线．（2）画力臂的方法：首先确定支点；然后找到动力和阻力，并用虚线延长动力和阻力的作用线；用虚线做支点到动力作用线和阻力作用线的垂线；作力臂时要注意一定从支点向力的作用线引垂线．（3）会设计串联电路和并联电路，会根据实物图准确画出电路图，会用元件符号画出电路图．

①因为光线沿半径方向射入，所以入射光线过球心O，O点为入射点．过O点作玻璃砖下表面垂线即法线，根据光的反射定律作出反射光线．
②该反射光线再由玻璃射出时，其光线垂直玻璃砖的圆弧表面入射（就像入射光线AO一样），光的传播方向不变，不发生折射．
③光线AO从玻璃斜射入空气时，折射角大于入射角，折射光线更远离法线．
故答案为：

点评：
本题考点： 作光的反射光路图；作光的折射光路图．

考点点评： 画光路图时，不管是作反射光线还是作折射光线，都要先把法线画出来．注意法线用虚线．

A、设物体受支持力为F，根据牛顿第二定律：mg-F=m

v20
R=0，得：F=mg，根据牛顿第三定律物体对半球面顶点的压力大小等于mg，故A正确；
B、若v₀=
gR，则mg-F=m

v20
R，得：F=0，则物体对半球面顶点无压力，故B正确；
C、若v₀=[1/2]
gR，则mg-F=m

v20
R，得：F=[3/4]mg，则物体对半球面顶点的压力为[3/4]mg，故C错误；
D、v≥
gR时，F=0，物体在顶部仅受重力，有水平初速度，做平抛运动，即若v₀=2
gR则物体经过最高点后立即离开半球面，故D错误；
故选：AB．

点评：
本题考点： 向心力．

考点点评： 解决本题的关键知道物体做圆周运动向心力的来源，以及知道平抛运动的条件．

以甲虫为研究对象，分析爬行过程中其受力情况：重力G、球面的支持力N和摩擦力f，如图，根据平衡条件得：
N=Gcosθ，f=Gsinθ
由题可知，θ增大，cosθ减小，sinθ增大，则球面对甲虫的支持力N变小，摩擦力f变大．
以甲虫和半球体整体为研究对象，可知，水平方向不受外力，则地面对半球体没有摩擦力．故B正确．
故选B

点评：
本题考点： 共点力平衡的条件及其应用；力的合成与分解的运用．

考点点评： 本题运用函数法研究动态平衡问题，分析受力情况是关键，同时要灵活选择研究对象，采用隔离法和整体法两种方法研究，比较简便．

以小球为研究对象，分析小球受力情况：重力G，细线的拉力T和半球面的支持力N，作出N、T的合力F，由平衡条件得知G′=G．
由△NFA∽△AO₂O₁得

Fn
AO1＝
G′
O1O2＝
F
AO2
得到
F_n=
AO1
O1O2G，F=
AO2
O1O2G
由题缓慢地将小球拉动顶端的过程中，O₁O₂，AO₁不变，O₂A变小
可见F变小；F_n不变．故C正确，A、B、D错误．
故选C．

点评：
本题考点： 共点力平衡的条件及其应用；力的合成与分解的运用．

考点点评： 本题是平衡问题中动态变化分析问题，支持力与拉力不垂直，运用三角形相似法分析，作为一种方法要学会应用．

那个积分区域是指整个球面的下半部分：z ≤ 0.(注意不是球体),所以是空心圆.
由方程z = - √(1 - x² - y²)可以看出,而上半部分就是z = √(1 - x² - y²),z ≥ 0
而下半球面的上侧,可以想象你站在一个碗上面,就是上侧的方向了.
当替这个下半球面补上z ≤ 0这个面,相当于补上方向朝下的天花板.这个空间的方向都指向内测.
外侧的话,考虑一块圆球磁铁,若磁铁是N极的话,所有磁线的方向由磁铁中心指向外面
所以下半圆球的外侧,即下侧方向,就是指上侧反转180°的另一个面,就像灯光从圆球里面射出来就是例子了.上侧的话,补的面不是天花板,而是地板了,补z ≥ 0这个面,方向朝上,所以整个封闭空间都指向外侧.就符合运用高斯公式的条件.

第一题见图
第二题：
由题意
开始时静止,所以重心应该在竖直轴上,设与中心距离为d
挂 10kg,转过30度,重心也转过30度
此时mgdsin30=10*6*cos30
得到mgd=60√3
设再转过角度为x
则mgdsin(30+x)=30*6*cos(30+x)
得到tan(30+x)=30*6/mgd=√3
所以x=30

若正三棱锥S-ABC的各顶点都在半球面上
则等边△ABC的外接圆半径等于球半径R
又∵AB=a，∴R=

3
3a
则S_△ABC=（
1
2×1×

3
2）a²=

3
4a²
∴V=[1/3×S△ABC×R=
a3
12]
故答案为：
a3
12

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查的知识点是棱锥的体积公式，其中根据球的几何特征和棱锥的几何特征，求出棱锥的高和底面面积，是解答本题的关键．

根据F合＝m
v02
R＝ma解得：a=
v02
R
故答案为：
v02
R

点评：
本题考点： 向心力；牛顿第二定律．

考点点评： 本题主要考查了向心力公式的直接应用，难度不大，属于基础题．

设想一个均匀带电、带电量为q的右半球，与题目中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面，由对称性可知，右半球在P点的电势U_P′等于左半球在Q点的电势，即：
U_P′=U_Q …①
故：
U_P+U_Q=U_P′+U_Q′…②
而U_P+U_P′正是两个半球同时存在时P点的电势．因为均匀带电球壳内部各处电势都相等，其值为k
2q
R，k为静电力常量，故：
U_P+U_P′=k
2q
R…③
由②③解得：
U_Q=k
2q
R-U_P
答：Q点的电势U_Q为k
2q
R-U_P．

点评：
本题考点： 匀强电场中电势差和电场强度的关系．

考点点评： 本题关键记住“均匀带正电球壳内部各处电势都为kQr2”的结论，然后结合割补法列式求解，电势的叠加高中考纲不做要求，较难．