过点A（1,2）的圆x²+y²=1的切线方程是

圆x²+y²=1的圆心(0,0)
到直线kx-y-k=0的距离是
|-k|/√(k²+1)

（1）依题意,直线l的斜率存在,
因为直线l过点M（-2,0）,可设直线l：y=k（x+2）．
因为|PQ|＝根号3
,圆的半径为1,且P,Q两点在圆x2+y2=1上,
所以,圆心O到直线l的距离d=根号下1-二分之根号三的平方=1/2
即：d=根号下K平方+1 分之2k的绝对值=1/2
所以,k＝±十五分之根号十五
所以直线l的方程为x−根号15y+2＝0或x+根号15y+2＝0
（2）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）
所以
MQ向量＝(x2+2,y2),MP向量＝(x1+2,y1)．
因为MQ向量＝2MP向量
所以（列方程组）①x2+2＝2(x1+2) ②y2＝2y1
方程组可化为：③x2＝2(x1+1) ④y2＝2y1
因为　P,Q两点在圆上,
所以（列方程组）⑤x12+y12＝1 ⑥x22+y22＝1
把③④带入⑤⑥
得x12+y12＝1 4(x1+1)2+4y12＝1 ←（方程组）
所以,
x1＝−八分之七
y1＝八分之根号15,
x2＝−八分之七
y2＝-八分之根号15
x3＝四分之一
y2＝四分之根号十五
x4＝四分之一
y4＝负四分之根号十五
所以P点坐标为(−八分之七,八分之根号十五)或(−八分之七,-八分之根号十五）,
Q点坐标为(四分之一,四分之根号十五)或(四分之一,负四分之根号十五)．

已知定点A(m,0) ,圆x²+y²=1上有一动点Q,若AQ的中点为P ,问：
（1）求动点P的轨迹方程C;
（2）若过原点且倾斜角为60°的直线与曲线C交于M,N两点,是否存在以MN为直径的圆过点A?若存在,求出A；若不存在,说明理由.
【解】（1）求动点P的轨迹方程C
设Q点坐标为（xq,yq）,P点坐标为（xp,yp）
由中点坐标公式：xp=（xq+m）/2,yp=yq/2,变形得：xq=2xp-m,yq=2yp
由于Q点为圆上一点,故xq,yq满足圆的方程,
将上式代入圆方程可以得动点P的轨迹方程C：（2xp-m）²+4yp²=1
（2）若过原点且倾斜角为60°的直线与曲线C交于M,N两点,是否存在以MN为直径的圆过点A?若存在,求出A；若不存在,说明理由.
过原点且倾斜角为60°的直线方程为：y= √3x
由于定点A(m,0),所以定点A不在直线上.
如果定点A在圆周上,则以A为顶点的圆周角∠MAN必为直角
设M点坐标为（x1,y1),N点坐标为(x2,y2)
有：K[AM]=y1/(x1-m）【AM的斜率】；K[AN]=y2/(x2-m）【AN的斜率】
有：K[AM]*K[AN]=y1/(x1-m）*y2/(x2-m）=-1
即：y1*y2+(x1-m）*(x2-m）=0
而：y1*y2=√3x1*√3x2=3x1x2
可得：4x1x2-m(x1+x2)+m²=0 ***
将y=√3x和（2xp-m）²+4yp²=1联立消去y,求M、N两点横坐标的关系
得：16x²-4mx+m²-1=0
韦达定理：(x1+x2)=m/4；x1x2=（m²-1）/16
代入 ***式,解得：m=1/2或m=-1/2
即：存在这样的A点,坐标为（1/2,0）或（-1/2,0）
【OK】

（1-√2/2)²+(√2/2)²
=1-√2+1/2+1/2
=2-√2
即x²+y²

若直线x+(√3)y=m与圆x²+y²=1的两个交点都在第一象限,则实数m的取值范围是?
将x=m-(√3)y代入圆的方程得[m-(√3)y]²+y²-1=4y²-2(√3)my+m²-1=0
设A(x₁,y₁)；B(x₂,y₂)；则y₁+y₂=(√3/2)m；y₁y₂=(m²-1)/4；
x₁+x₂=[m-(√3)y₁]+[m-(√3)y₂]=2m-(√3)(y₁+y₂)=2m-(√3)(√3)/2)=2m-3/2；
x₁x₂=[m-(√3)y₁][m-(√3)y₂]=m²-(√3)m(y₁+y₂)+3y₁y₂=m²-(3/2)m²+(3/4)(m²-1)=(1/4)m²-3/4；
由于A,B都在第一象限,故x₁,y₁,x₂,y₂都是正数,于是有：
y₁+y₂=(√3/2)m>0.①
y₁y₂=(m²-1)/4>0.②
x₁+x₂=2m-3/2>0.③
x₁x₂=(1/4)m²-3/4>0.④
由①得m>0；由②得m>1或m3/4；由④得m>√3或m√3},这就是m的取值范围.

把y=-x/√3+m①代入x^2+y^2=1,得
x^2+x^2/3-2mx/√3+m^2=1,
整理得(4/3)x^2-2mx/√3+m^2-1=0,
解得x=[m√3土√(12-9m^2)]/4,
代入①,y=m-[m土√(4-3m^2)]/4,
直线与圆在第一象限有交点,
{[m√3+√(12-9m^2)]/4>0,m-[m+√(4-3m^2)]/4>0},
或{[m√3-√(12-9m^2)]/4>0,m-[m-√(4-3m^2)]/4>0},
-m

圆x²+y²=1与圆x²+y²=4为同心圆
半径分别为1,2
圆x²+y²=1的任意一条切线l设切点为T
l与圆x²+y²=4相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点
那么x1x2+y1y2=OA●OB
∵|OA|=|OB|=2|OT| ,OT⊥AB
∴∠AOT=∠BOT=60º
∴∠AOB=120º
∴OA●OB=|OA||OB|cos120º=4*(-1.2)=-2
即x1x2+y1y2=-2

您好,答案是B 在圆外.
解释：根据点到直线距离公式Ax＋By＋C＝0坐标（Xo,Yo）,那么这点到这直线的距离就为：
│AXo＋BYo＋C│／√（A²＋B²）.由于直线和圆相交,因此点到直线距离小于1,所以a的平方加上b的平方大于1,因此P（a,b）在圆外.

圆心(0,0)到直线的距离=|-12|/√(3^2+4^2)=12/5
再减去半径的值即为圆上的点到直线的距离最小值,即为12/5-1=7/5

设直线方程为y=kx+b
过点(0,-2)代入得y=kx-2
与x^2+y^2=1联立解方程组
得
(k^2+1)*x^2-4kx+3=0
一个交点所以
△=16k^2-4*3*(k^2+1)
=4k^2-12=0
k=+-√3
即
-√3

假设存在
因为O为原点 OP.OQ为半径 且OP垂直OQ
所以OPQ为等腰直角三角形
OP=OQ=半径长=1
所以PQ=根号2
过O作OM垂直PQ 由勾股定理得OM=根号2/2
用点到直线距离公式OM=C的绝对值/根号5=根号2/2
解得c=正负根号10
所以存在

解；设P(m,n),Q(x,y),MQ=3QP 由定比分点公式得:x=(3+3m)/1+3=(3/4)(1+m) y=(0+3n)/(1+3)=(3/4)n m=(4/3)x-1 n=4y/3 m^2+n^2=1 [(4/3)x-1]^2+(4y/3)^2=1 (4x-3)^2+16y^2=9即为点Q的轨迹方程 相切时P(1/3,±2√2/3),此时Q(1,±√2/2) 由此得点Q的轨迹方程: (4x-3)^2+16y^2=9,|y|≤√2/2
希望采纳

y=kx-1代入得：
x^2+(kx-1)^2=1
(1+k^2)x^2-2kx=0
设中点C(x',y')
x'=k/(1+k^2)
y'=kx'-1=k^2/(1+k^2)-1=-1/(1+k^2)
x'/y'=-k
y'=-1/(1+(x'^2/y'^2))
1=-y'/(x'^2+y'^2)
x'^2+y'^2+y'=0