A=URU∧T(矩阵舒尔分解),U为正交矩阵,R为上三角矩阵

内游2022-10-04 11:39:541条回答

A=URU∧T(矩阵舒尔分解),U为正交矩阵,R为上三角矩阵
U为正交矩阵,R为上三角,证明:若方阵A有n个实特征值,则A有舒尔分解,证明思路是:设u1是相对λ1的单位特征向量,U=[u1 u2 … un]是正交矩阵,这样U∧TAU=
|λ1 * * *|
|0 |
|:A1 |
|0 |为分块矩阵,推得子矩阵A1有λ2~λn特征值,然后把A1运用上面的方法,一直递归,我知道目的就是要证出上面右边矩阵为上三角,我的不解是接下来有U1∧TA1U1=…,就算已经知…指的是上三角,咋求A1也是上三角?

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libindi 共回答了21个问题 | 采纳率100%
A1是n-1阶矩阵,可以用归纳假设(或者递归,反正本质是一样的),存在正交阵U1使得T=U1^T*A1*U1是上三角阵
然后取正交阵V=diag{1,U1}
那么U^TAU=[λ1,x^T; 0,A1]=[λ1,x^T; 0 U1*T1*U1^T]=V*[λ1,y^T; 0 T1]*V^T
这样一来(UV)^TA(UV)=[λ1,y^T; 0 T1]就是上三角阵了
如果你实在搞不清楚就自己拿一个三阶矩阵动手算一遍,空想不解决问题
1年前

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