△ABC的边BC=1/2（AB+AC）,取AB,AC的中点M,N,G为重心,I为内心.求证：过A,M,N三点的圆与直线G

延长AG交BC于D；延长AI分别交BC、△ABC的外接圆于E、F.
∵I是△ABC的内心,∴∠ABI＝∠IBE、∠ACI＝∠ICE,
∴由三角形内角平分线定理,有：AI/IE＝AB/BE、AI/IE＝AC/CE,
∴由等比定理,得：AI/IE＝（AB＋AC）/（BE＋CE）＝（AB＋AC）/BC,而BC＝（AB＋AC）/2,
∴AI/IE＝2.
∵M、N分别是AB、AC的中点,∴G是△ABC的重心,∴AG/GD＝2＝AI/IE,∴GI∥BC.
∵M、N分别是AB、AC的中点,∴MN∥BC,∴GI∥MN.
∵I是△ABC的内心,∴∠BAE＝∠CAE.
∵A、B、F、C共圆,∴∠BCF＝∠BAE,又∠BAE＝∠CAE,∴∠BCF＝∠CAE.
由三角形外角定理,有：∠FIC＝∠CAE＋∠ACI,而∠BCF＝∠CAE、∠ACI＝∠BCI,
∴∠FIC＝∠BCF＋∠BCI＝∠FCI,∴FC＝FI.
∵A、B、F、C共圆,∴△ABE∽△FCE,∴AB/FC＝BE/FE,∴AB/BE＝FC/FE,而AI/IE＝AB/BE,
∴FC/FE＝AI/IE,又FC＝FI、AI/IE＝2,∴FI/FE＝2,∴FI/（FE－FI）＝2/（1－2）,∴FI/IE＝2,
∴AI＝FI,结合AN＝CN,得：IN∥FC,∴∠AIN＝∠AFC.
∵A、B、F、C共圆,∴∠AFC＝∠ABC,∴∠AIN＝∠ABC.
∵MN∥BC,∴∠AMN＝∠ABC,∴∠AIN＝∠AMN,∴A、M、I、N共圆,∴∠NMI＝∠NAI.
由∠MAI＝∠NAI、∠NMI＝∠NAI,得：∠NMI＝∠MAI.
∵MN∥GI,∴∠MIG＝∠NMI,而∠NMI＝∠MAI,∴∠MIG＝∠MAI,
∴GI是△AMN的外接圆的切线.