设f(x)=alnx+x2,若存在x属于[1,e],使f(x)≤(a+2)x成立,求a的取值范围.

解题思路：（Ⅰ）将a=-2代入，然后求出导函数f'（x），欲证函数f（x）在（1，+∞）上是增函数只需证导函数在（1，+∞）上恒大于零即可；
（Ⅱ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

（Ⅰ）当a=-2时，f（x）=x²-2lnx，当x∈（1，+∞），f′(x)＝
2(x2−1)
x＞0，
故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）f′(x)＝
2x2+a
x(x＞0)，当x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]_min=f（1）=1．
若-2e²＜a＜-2，当x＝

−a
2时，f'（x）=0；当1≤x＜

−a
2时，f'（x）＜0，
此时f（x）是减函数；当

−a
2＜x≤e时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故[f（x）]_min=f(

−a
2)=[a/2ln(−
a
2)−
a
2]
若a≤-2e²，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e²，x=e时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
综上可知，当a≥-2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；
当-2e²＜a＜-2时，f（x）的最小值为[a/2ln(−
a
2)−
a
2]，相应的x值为

−a
2；
当a≤-2e²时，f（x）的最小值为a+e²，相应的x值为e

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．

解题思路：（1）求导数f′（x），分a≥0，a＜0两种情况进行讨论，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，不妨设x₁＜x₂，则不等式可化为可化为f（x₂）-f（x₁）≥3x₂-3x₁，即f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，令g（x）=f（x）-3x，可知g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而有g′（x）≥0恒成立，分离参数a后化为函数的最值即可；

（1）f′(x)＝
a
x+2x＝
a+2x2
x，
当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令f′（x）＞0得：x＞
−
a
2，f′（x）＜0得：0＜x＜
−
a
2，
此时f（x）的递增区间为（
−
a
2，+∞)），f（x）的递减区间为(0，
−
a
2)；
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
不妨设x₁＜x₂，则|f（x₁）-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|可化为f（x₂）-f（x₁）≥3x₂-3x₁，即f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，
令g（x）=f（x）-3x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g′（x）=f′（x）-3=
a+2x2
x−3＝
a+2x2−3x
x≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥-2x²+3x=-2(x−
3
4)2+
9
8，
∴a≥
9
8．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 该题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，属中档题．

解题思路：（1）先求出f（x），然后求f′（x），找f′（x）＞0所对应的x的区间，和f′（x）＜0所对应的x的区间，这样就求出了f（x）的单调区间；
（2）想着让不等式变成一边是a，另一边含x的式子，这样便于求a的取值范围．由于x∈[1，e]，所以原不等式可变成a≥

−x2+2x

lnx−x

，令g（x）=

−x2+2x

lnx−x

，a需满足：a≥g（x）_max，所以求函数g（x）的最大值即可．可通过求导数，判断导数的符号，得出g（x）在[1，e]的单调性，从而求出g（x）的最大值，这样便求出了a的取值范围．

（1）a=-2时，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x−
2
x＝
2(x2−1)
x；
∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1]，单调递增区间为（1，+∞）．
（2）由已知条件得：alnx+x²≤（a+2）x，a（lnx-x）≤-x²+2x；
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取；
∴lnx＜x，∴lnx-x＜0；
∴a≥
−x2+2x
lnx−x；
令g（x）=
−x2+2x
lnx−x（x∈[1，e]），g′（x）=
(x−1)(x+2−2lnx)
(lnx−x)2；
∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，lnx≤1，x+2-2ln2＞0；
∴g′（x）≥0，∴g（x）在[1，e]上为增函数；
∴g（x）在[1，e]上的最大值为：
e2−2e
e−1；
∴a的取值范围为：[
e2−2e
e−1，+∞)．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查通过判断导数符号来判读函数单调性，求单调区间的方法，而把（2）中的不等式变成a≥−x2+2xlnx−x是求解本题的关键．

解题思路：（1）求导数f′（x），分a≥0，a＜0两种情况进行讨论，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，不妨设x₁＜x₂，则不等式可化为可化为f（x₂）-f（x₁）≥3x₂-3x₁，即f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，令g（x）=f（x）-3x，可知g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而有g′（x）≥0恒成立，分离参数a后化为函数的最值即可；

（1）f′(x)＝
a
x+2x＝
a+2x2
x，
当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令f′（x）＞0得：x＞
−
a
2，f′（x）＜0得：0＜x＜
−
a
2，
此时f（x）的递增区间为（
−
a
2，+∞)），f（x）的递减区间为(0，
−
a
2)；
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
不妨设x₁＜x₂，则|f（x₁）-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|可化为f（x₂）-f（x₁）≥3x₂-3x₁，即f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，
令g（x）=f（x）-3x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g′（x）=f′（x）-3=
a+2x2
x−3＝
a+2x2−3x
x≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥-2x²+3x=-2(x−
3
4)2+
9
8，
∴a≥
9
8．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 该题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，属中档题．

存在x使成立,意思是“大于最小”

解题思路：不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x．由已知条件推导出a≥

x2−2x

x−lnx

，（x∈[1，e]），令g（x）=

x2−2x

x−lnx

，（x∈[1，e]），由此利用导数性质能求出a的取值范围．

不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥
x2−2x
x−lnx，（x∈[1，e]）
令g（x）=
x2−2x
x−lnx，（x∈[1，e]），
又g′（x）=
(x−1)(x+2−2lnx)
(x−lnx)2，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴g（x）在[1，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（1）=-1，
∴a的取值范围是[-1，+∞）．
故答案为：[-1，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．

应该存在 x∈[1,e],使得f(x)-(a+2)x ≤ 0,
所以应该求在[1,e], 求出g(x)=f(x)-(a+2)x 最小值,只需要最小值小于零,就行了.如此求出a的范围.
而不是求f(x)的最大值 ,而且不应该将左右两边分开讨论,因为左边取极值时,右边不一定取极值.
“构造出来的gx最小值 需要小于等于0为什么不是最大值?”
题意是说存在x∈[1,e],使f（x）≤（a+2）x 或g(x)= f(x)-(a+2)x ≤ 0,也即说只要有一个x,使得不等式满足即可,所以只需求最小值.
“还有x=2分之a小于等于1 和大于1都要讨论 x不是在1 到e之间吗 为什么还要讨论?”
得分析极值情况,确定g(x)的最小值点.显然,如果x=2分之a ≤ 1,那么1为极小值,所以最小值x=1
而1≤ 2分之a,那么1为极大值点,2分之a为极小值点,得分析x=e处的值,和x=2分之a的值,如果 2分之a ∈[1,e].

解题思路：（1）求出导函数，通过对导函数为0的根与区间[1，e]的三种关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值及端点值，从中选出最小值．
（2）列出不等式有解，分离出参数a，构造函数g（x），通过导数求出g（x）的最小值，令a≥g（x）最大值．

（1）f′(x)＝
2x2+a
x(x＞0)，当[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]_min=f（1）=1．
②若-2e²＜a＜-2，当x＝

−a
2时，f′（x）=0；当1≤x＜

−a
2时，f′（x）＜0，此时f（x）
是减函数；当

−a
2＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f(x)]min＝f(

−a
2)=[a/2ln(−
a
2)−
a
2]．
③若a≤-2e²，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e²，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
综上可知，[f(x)]min＝

1(a≥−2)

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 求函数的最值，先通过导数求出函数的极值，再求出函数的两个端点值，选出函数的最值；解决函数有解问题，常分离参数转化为求函数的最值．

第一小题可把a=-2代入,然后求导数即可
第二小题,首先很容易看出f（1）=1,f（e）=a+e2,然后对函数求导数（注意此时a是不确定的常数）确定单调性并求极值,最后将端点函数值与极值比较,最小的即为最小值
第三小题,首先可以构造函数F（x）=f（x）-（a+2）x,显然F(x)在【1,e】可导,之后仍然是求导数确定单调性,代入端点函数值,注意讨论a的正负

解题思路：不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x．由已知条件推导出a≥

x2−2x

x−lnx

，（x∈[1，e]），令g（x）=

x2−2x

x−lnx

，（x∈[1，e]），由此利用导数性质能求出a的取值范围．

不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥
x2−2x
x−lnx，（x∈[1，e]）
令g（x）=
x2−2x
x−lnx，（x∈[1，e]），
又g′（x）=
(x−1)(x+2−2lnx)
(x−lnx)2，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴g（x）在[1，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（1）=-1，
∴a的取值范围是[-1，+∞）．
故答案为：[-1，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．

不等式f（x）≤（a+2）x,可化为a（x-lnx）≥x2-2x． ∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x且等号不能同时取,所以lnx＜x,即x-lnx＞0, 因而a≥ x2-2x x-lnx (x∈[1,e]) 令g(x)= x2-2x x-lnx (x∈[1,e]),又g′(x)= (x-1)(x+2-2lnx) (x-lnx)2 , 当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx＞0, 从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号）,所g（x）在[1,e]上为增函数, 故g（x）的最小值为g（1）=-1,所以a的取值范围是[-1,+∞）．

（1）a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+x 2 ，
∴ ，
令f'（x）＞0，由x＞0得x＞1，
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．
（2） ，
令f'（x）=0，由a＜﹣2，x＞0得
，即﹣2e 2 ＜a＜﹣2时，f（x）在
①当
递减，在 递增，
时， ．
∴当
，即a≤﹣2e 2 时，f（x）在[1，e]递减，
②当
∴当x=e时，f（x） min =a+e2．
（3）f（x）≤（a+2）x化为：alnx+x 2 ﹣（a+2）x≤0，
设g（x）=alnx+x 2 ﹣（a+2）x，据题意，
当x∈[1，e]时，g（x） min ≤0，
，
（i）当 即a≤2时，当x∈[1，e]时，g'（x）≥0，∴g（x）递增，
∴g（x） min =g（1）=﹣1﹣a≤0，∴a≥﹣1，
∴﹣1≤a≤2；
递减， 递增，
即2＜a＜2e时，g（x）在
（ii）当
，
∴
，∴g（x）min＜0，
∵
∴2＜a＜2e符合题意；
即a≥2e时，g（x）在[1，e]递减，
（iii）当
∴g（x） min =g（e）=a+e 2 ﹣（a+2）e=（1﹣e）a+e 2 ﹣2e≤2e（1﹣e）+e 2 ﹣2e=﹣e2＜0，符合题意，
综上可得，a的取值范围是[﹣1，+∞）．

解题思路：（1）首先求出f′(x)＝

2x2+a

x

(x＞0)，当f（x）≤（a+2）x时，2x²+a∈[a+2，a+2e²]，若a≥-2，判断出f′（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，求出最小值以及相应的x值即可；
（2）先设函数g（x）=

x2−2x

x−lnx

（x∈[1，e]），可得g′（x）=

(x−1)(x+2−2lnx)

(x−lnx)2

，当x∈[1，e]，时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，求出g（x）的最小值，进而求出实数a的取值范围即可．

（1）f′(x)＝
2x2+a
x(x＞0)，
当f（x）≤（a+2）x时，2x²+a∈[a+2，a+2e²]，
若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，
此时[f（x）]_min=f（1）=1；
（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x，
∵x∈[1，e]，
∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥
x2−2x
x−lnx（x∈[1，e]），
令g（x）=
x2−2x
x−lnx（x∈[1，e]），
可得g′（x）=
(x−1)(x+2−2lnx)
(x−lnx)2，
当x∈[1，e]，时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），
所以g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（1）=-1，
所以a的取值范围是[-1，+∞]．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了函数的单调性，导数的应用，以及求参数的范围，属于中档题．

答：
(1).
f(x)定义域为x∈(0,+∞).
f'(x)=a/x+2x-10.
因为f(x)在x=2处取极值,所以f'(2)=a/2+4-10=0,即a=12.
(2)
f(x)=12lnx+x²-10x,f'(x)=12/x+2x-10
当f'(x)=0时,12/x+2x-10=0,整理得(x-2)(x-3)=0,即x1=2,x2=3.
x ∈ (0,2) ,2 ,(2,3) ,3 ,(3,+∞)
f'(x) >0 ,=0 ,0
f(x) 递增 ,极大值,递减 ,极小值,递增
所以函数单调增区间为(0,2)∪(3,+∞)；单调减区间为(2,3).
(3)
当y=b与图像有3个交点,即由图像得：f(2)>b或f(3)b；f(3)=12ln3+9-30=12ln3-21

f(x)=alnx+x2-10x
f'(x)=a/x+2x-10
x=3是函数f(x)=alnx+x2-10x的一个极致点
f'(3)=0)=a/3+2*3-10=a/3-4=0
a=12
f'(x)=a/x+2x-10=12/x+2x-10=0
6/x+x-5=0 x^2-5x+6=0
x=2,x=3
f'(x)=a/x+2x-10=12/x+2x-10>0 x>3 或x